Как решить простое уравнение в excel

Если в ячейку Excel введена формула, содержащая ссылку на эту же самую ячейку (может быть и не напрямую, а опосредованно — через цепочку других ссылок), то говорят, что имеет место циклическая ссылка (цикл). На практике к циклическим ссылкам прибегают, когда речь идет о реализации итерационного процесса, вычислениях по рекуррентным соотношениям. В обычном режиме Excel обнаруживает цикл и выдает сообщение о возникшей ситуации, требуя ее устранения. Excel не может провести вычисления, так как циклические ссылки порождают бесконечное количество вычислений. Есть два выхода из этой ситуации: устранить циклические ссылки или допустить вычисления по формулам с циклическими ссылками (в последнем случае число повторений цикла должно быть конечным).

Рассмотрим задачу нахождения корня уравнения методом Ньютона с использованием циклических ссылок. Возьмем для примера квадратное уравнение: х 2 — 5х + 6=0, графическое представление которого приведено на рис. 8. Найти корень этого (и любого другого) уравнения можно, используя всего одну ячейку Excel.

Для включения режима циклических вычислений в меню Сервис/Параметры/вкладка Вычисления включаем флажок Итерации, при необходимости изменяем число повторений цикла в поле Предельное число итераций и точность вычислений в поле Относительная погрешность (по умолчанию их значения равны 100 и 0,0001 соответственно). Кроме этих установок выбираем вариант ведения вычислений: автоматически или вручную. При автоматическом вычислении Excel выдает сразу конечный результат, при вычислениях, производимых вручную, можно наблюдать результат каждой итерации.

Рис. 8. График функции

Выберем произвольную ячейку, присвоим ей новое имя, скажем — Х, и введем в нее рекуррентную формулу, задающую вычисления по методу Ньютона:

где F и F1 задают соответственно выражения для вычисления значений функции и ее производной. Для нашего квадратного уравнения после ввода формулы в ячейке появится значение 2, соответствующее одному из корней уравнения (рис. 8). В нашем случае начальное приближение не задавалось, итерационный вычислительный процесс начинался со значения, по умолчанию хранимого в ячейке Х и равного нулю. А как получить второй корень? Обычно это можно сделать изменением начального приближения. Решать проблему задания начальных установок в каждом случае можно по-разному. Мы продемонстрируем один прием, основанный на использовании функции ЕСЛИ. С целью повышения наглядности вычислений ячейкам были присвоены содержательные имена (рис. 9).

В ячейку Хнач (В4) заносим начальное приближение — 5.
В ячейку Хтекущ (С4) записываем формулу:
=ЕСЛИ(Хтекущ=0;Хнач; Хтекущ-(Хтекущ^2-5*Хтекущ+6)/(2*Хтекущ-5)).
В ячейку D4 помещаем формулу, задающую вычисление значения функции в точке Хтекущ, что позволит следить за процессом решения.
Заметьте, что на первом шаге вычислений в ячейку Хтекущ будет помещено начальное значение, а затем уже начнется счет по формуле на последующих шагах.

Чтобы сменить начальное приближение, недостаточно изменить содержимое ячейки Хнач и запустить процесс вычислений. В этом случае вычисления будут продолжены, начиная с последнего вычисленного

Рис. 9. Определение начальных установок

значения. Чтобы обнулить значение, хранящееся в ячейке Хтекущ, нужно заново записать туда формулу. Для этого достаточно для редактирования выбрать ячейку, содержащую формулу, дважды щелкнув мышью на ней (при этом содержимое ячейки отобразится в строке формул). Щелчок по кнопке (нажатие клавиши) Enter запустит вычисления с новым начальным приближением.

2.2. Подбор параметра

Когда желаемый результат вычислений по формуле известен, но неизвестны значения, необходимые для получения этого результата, можно воспользоваться средством Подбор параметра, выбрав команду Подбор параметра в меню Сервис. При подборе параметра Excel изменяет значение в одной конкретной ячейке до тех пор, пока вычисления по формуле, ссылающейся на эту ячейку, не дадут нужного результата.

Возьмем в качестве примера все то же квадратное уравнение х 2 -5х+6=0. Для нахождения корней уравнения выполним следующие действия:

В ячейку С3 (рис. 10) введем формулу для вычисления значения функции,

Рис. 10. Окно диалога Подбор параметра

стоящей в уравнении слева от знака равенства. В качестве аргумента используем ссылку на ячейку С2, т.е. =С2^2-5*C2+6.

В окне диалога Подбор параметра (рис. 10) в поле Установить в ячейке введем ссылку на ячейку с формулой, в поле Значение — ожидаемый результат, в поле Изменяя значения ячейки — ссылку на ячейку, в которой будет храниться значение подбираемого параметра (содержимое этой ячейки не может быть формулой).
После нажатия на кнопку Ok Excel выведет окно диалога Результат подбора параметра. Если подобранное значение необходимо сохранить, то нажмите на Оk, и результат будет сохранен в ячейке, заданной ранее в поле Изменяя значения ячейки. Для восстановления значения, которое было в ячейке С2 до использования команды Подбор параметра, нажмите кнопку Отмена.

При подборе параметра Excel использует итерационный (циклический) процесс. Количество итераций и точность устанавливаются в меню Сервис/Параметры/вкладка Вычисления. Если Excel выполняет сложную задачу подбора параметра, можно нажать кнопку Пауза в окне диалога Результат подбора параметра и прервать вычисление, а затем нажать кнопку Шаг, чтобы выполнить очередную итерацию и просмотреть результат. При решении задачи в пошаговом режиме появляется кнопка Продолжить — для возврата в обычный режим подбора параметра.

Вернемся к примеру. Опять возникает вопрос: как получить второй корень? Как и в предыдущем случае необходимо задать начальное приближение. Это можно сделать следующим образом (рис. 11,а):

В ячейку Х (С2) вводим начальное приближение.
В ячейку Х_i (С3) вводим формулу для вычисления очередного приближения к корню, т.е.
=X-(X^2-5*X+6)/(2*X-5).
В ячейку С4 поместим формулу, задающую вычисление значения функции, стоящей в левой части исходного уравнения, в точке Х_i.
После этого выбираем команду Подбор параметра, где в качестве изменяемой ячейки принимаем ячейку С2. Результат вычислений изображен на рис. 11,б (в ячейке С2 — конечное значение, а в ячейке С3 — предыдущее).

Однако все это можно сделать и несколько проще. Для того чтобы найти второй корень, достаточно в качестве начального приближения (рис. 10) в ячейку C2 поместить константу 5 и после этого запустить процесс Подбор параметра.

2.3. Поиск решения

Команда Подбор параметра является удобной для решения задач поиска определенного целевого значения, зависящего от одного неизвестного параметра. Для более сложных задач следует использовать команду Поиск решения (Решатель), доступ к которой реализован через пункт меню Сервис/Поиск решения.

Задачи, которые можно решать с помощью Поиска решения, в общей постановке формулируются так:

Искомые переменные — ячейки рабочего листа Excel — называются регулируемыми ячейками. Целевая функция F(х₁, х₂, … , х_n), называемая иногда просто целью, должна задаваться в виде формулы в ячейке рабочего листа. Эта формула может содержать функции, определенные пользователем, и должна зависеть (ссылаться) от регулируемых ячеек. В момент постановки задачи определяется, что делать с целевой функцией. Возможен выбор одного из вариантов:

найти максимум целевой функции F(х₁, х₂, … , х_n);
найти минимум целевой функции F(х₁, х₂, … , х_n);
добиться того, чтобы целевая функция F(х₁, х₂, … , х_n) имела фиксированное значение: F(х₁, х₂, … , х_n) = a.

Функции G(х₁, х₂, … , х_n) называются ограничениями. Их можно задать как в виде равенств, так и неравенств. На регулируемые ячейки можно наложить дополнительные ограничения: неотрицательности и/или целочисленности, тогда искомое решение ищется в области положительных и/или целых чисел.

Под эту постановку попадает самый широкий круг задач оптимизации, в том числе решение различных уравнений и систем уравнений, задачи линейного и нелинейного программирования. Такие задачи обычно проще сформулировать, чем решать. И тогда для решения конкретной оптимизационной задачи требуется специально для нее сконструированный метод. Решатель имеет в своем арсенале мощные средства решения подобных задач: метод обобщенного градиента, симплекс-метод, метод ветвей и границ.

Выше для нахождения корней квадратного уравнения был применен метод Ньютона (п. 1.4) с использованием циклических ссылок (п. 2.1) и средство Подбор параметра (п. 2.2). Рассмотрим, как воспользоваться Поиском решения на примере того же квадратного уравнения.

Рис. 12. Окно диалога Поиск решения

После открытия диалога Поиск решения (рис. 12) необходимо выполнить следующие действия:

в поле Установить целевую ячейку ввести адрес ячейки, содержащей формулу для вычисления значений оптимизируемой функции, в нашем примере целевая ячейка — это С4, а формула в ней имеет вид: = C3^2 — 5*C3 + 6;
для максимизации значения целевой ячейки, установить переключатель максимальному значению в положение 8 , для минимизации используется переключатель минимальному значению, в нашем случае устанавливаем переключатель в положение значению и вводим значение 0;
в поле Изменяя ячейки ввести адреса изменяемых ячеек, т.е. аргументов целевой функции (С3), разделяя их знаком «;» (или щелкая мышью при нажатой клавише Сtrl на соответствующих ячейках), для автоматического поиска всех влияющих на решение ячеек используется кнопка Предположить;
в поле Ограничения с помощью кнопки Добавить ввести все ограничения, которым должен отвечать результат поиска: для нашего примера ограничений задавать не нужно;
для запуска процесса поиска решения нажать кнопку Выполнить.

Рис. 13. Результаты поиска

Для сохранения полученного решения необходимо использовать переключатель Сохранить найденное решение в открывшемся окне диалога Результаты поиска решения. После чего рабочий лист примет вид, представленный на рис. 13. Полученное решение зависит от выбора начального приближения, которое задается в ячейке С4 (аргумент функции). Если в качестве начального приближения в ячейку С4 ввести значение, равное 1,0, то с помощью Поиска решения найдем второй корень, равный 2,0.

Опции, управляющие работой Поиска решения, задаваемые в окне Параметры (окно появляется, если нажать на кнопку Параметры окна Поиск решения), следующие (рис. 14):

Рис. 14. Настройка параметров Решателя

Максимальное время — ограничивает время, отведенное на процесс поиска решения (по умолчанию задано 100 секунд, что достаточно для задач, имеющих около 10 ограничений, если задача большой размерности, то время необходимо увеличить).
Предельное число итераций — еще один способ ограничения времени поиска путем задания максимального числа итераций. По умолчанию задано 100, и, чаще всего, если решение не получено за 100 итераций, то при увеличении их количества (в поле можно ввести время, не превышающее 32767 секунд) вероятность получить результат мала. Лучше попытаться изменить начальное приближение и запустить процесс поиска заново.
Относительная погрешность — задает точность, с которой определяется соответствие ячейки целевому значению или приближение к указанным ограничениям (десятичная дробь от 0 до 1).
Допустимое отклонение — задается в % только для задач с целочисленными ограничениями. Поиск решения в таких задачах сначала находит оптимальное нецелочисленное решение, а потом пытается найти ближайшую целочисленную точку, решение в которой отличалось бы от оптимального не более, чем на указанное данным параметром количество процентов.
Сходимость — когда относительное изменение значения в целевой ячейке за последние пять итераций становится меньше числа (дробь из интервала от 0 до 1), указанного в данном параметре, поиск прекращается.
Линейная модель — этот флажок следует включать, когда целевая функция и ограничения — линейные функции. Это ускоряет процесс поиска решения.
Неотрицательные значения — этим флажком можно задать ограничения на переменные, что позволит искать решения в положительной области значений, не задавая специальных ограничений на их нижнюю границу.
Автоматическое масштабирование — этот флажок следует включать, когда масштаб значений входных переменных и целевой функции и ограничений отличается, возможно, на порядки. Например, переменные задаются в штуках, а целевая функция, определяющая максимальную прибыль, измеряется в миллиардах рублей.
Показывать результаты итераций — этот флажок позволяет включить пошаговый процесс поиска, показывая на экране результаты каждой итерации.
Оценки — эта группа служит для указания метода экстраполяции — линейная или квадратичная, — используемого для получения исходных оценок значений переменных в каждом одномерном поиске. Линейная служит для использования линейной экстраполяции вдоль касательного вектора. Квадратичная служит для использования квадратичной экстраполяции, которая дает лучшие результаты при решении нелинейных задач.
Разности (производные) — эта группа служит для указания метода численного дифференцирования, который используется для вычисления частных производных целевых и ограничивающих функций. Параметр Прямые используется в большинстве задач, где скорость изменения ограничений относительно невысока. Параметр Центральные используется для функций, имеющих разрывную производную. Данный способ требует больше вычислений, однако его применение может быть оправданным, если выдается сообщение о том, что получить более точное решение не удается.
Метод поиска — служит для выбора алгоритма оптимизации. Метод Ньютона был рассмотрен ранее. В Методе сопряженных градиентов запрашивается меньше памяти, но выполняется больше итераций, чем в методе Ньютона. Данный метод следует использовать, если задача достаточно велика и необходимо экономить память, а также если итерации дают слишком малое отличие в последовательных приближениях.

Сохранить модель поиска решения можно следующими способами:

при сохранении книги Excel после поиска решения все значения, введенные в окнах диалога Поиск решения, сохраняются вместе с данными рабочего листа. С каждым рабочим листом в рабочей книге можно сохранить один набор значений параметров Поиска решения;
если в пределах одного рабочего листа Excel необходимо рассмотреть несколько моделей оптимизации (например найти максимум и минимум одной функции, или максимальные значения нескольких функций), то удобнее сохранить эти модели, используя кнопку Параметры/Сохранить модель окна Поиск решения. Диапазон для сохраняемой модели содержит информацию о целевой ячейке, об изменяемых ячейках, о каждом из ограничений и все значения диалога Параметры. Выбор модели для решения конкретной оптимизационной задачи осуществляется с помощью кнопки Параметры/Загрузить модель диалога Поиск решения;
еще один способ сохранения параметров поиска — сохранение их в виде именованных сценариев. Для этого необходимо нажать на кнопку Сохранить сценарий диалогового окна Результаты поиска решений.

Кроме вставки оптимальных значений в изменяемые ячейки Поиск решения позволяет представлять результаты в виде трех отчетов: Результаты, Устойчивость и Пределы. Для генерации одного или нескольких отчетов необходимо выделить их названия в окне диалога Результаты поиска решения. Рассмотрим более подробно каждый из них.

Рис. 15. Отчет по устойчивости

Отчет по устойчивости (рис.15) содержит информацию о том, насколько целевая ячейка чувствительна к изменениям ограничений и переменных. Этот отчет имеет два раздела: один для изменяемых ячеек, а второй для ограничений. Правый столбец в каждом разделе содержит информацию о чувствительности. Каждая изменяемая ячейка и ограничения приводятся в отдельной строке. Раздел для изменяемых ячеек содержит значение нормированного градиента, которое показывает, как целая ячейка реагирует на увеличение значения в соответствующей изменяемой ячейке на одну единицу. Подобным образом, множитель Лагранжа в разделе для ограничений показывает, как целевая ячейка реагирует на увеличение соответствующего значения ограничения на одну единицу. При использовании целочисленных ограничений Excel выводит сообщение Отчеты устойчивость и Пределы не применимы для задач с целочисленными ограничениями. Если в окне диалога Параметры поиска решения установлен флажок Линейная модель, то отчет по устойчивости содержит несколько дополнительных столбцов информации.

Рис. 16. Отчет по результатам

Отчет по результатам (рис.16) содержит три таблицы: в первой приведены сведения о целевой функции до начала вычисления, во второй — значения искомых переменных, полученные в результате решения задачи, в третьей — результаты оптимального решения для ограничений. Этот отчет также содержит информацию о таких параметрах каждого ограничения, как статус и разница. Статус может принимать три состояния: связанное, несвязанное или невыполненное. Значение разницы — это разность между значением, выводимым в ячейке ограничения при получении решения, и числом, заданным в правой части формулы ограничения. Связанное ограничение — это ограничение, для которого значение разницы равно нулю. Несвязанное ограничение — это ограничение, которое было выполнено с ненулевым значением разницы.

Отчет по пределам содержит информацию о том, в каких пределах значения изменяемых ячеек могут быть увеличены или уменьшены без нарушения ограничений задачи. Для каждой изменяемой ячейки этот отчет содержит оптимальное значение, а также наименьшие значения, которые ячейка может принимать без нарушения ограничений.

Исправляем ошибки: Нашли опечатку? Выделите ее мышкой и нажмите Ctrl+Enter

Решение уравнений в excel — примеры решений

Microsoft Office Excel может здорово помогать студентам и магистрантам в решении различных задач из высшей математики. Не многие пользователи знают, что базовые математические методы поиска неизвестных значений в системе уравнений реализованы в редакторе. Сегодня рассмотрим, как происходит решение уравнений в excel.

Первый метод

Суть этого способа заключается в использовании специального инструмента программы – подбор параметра. Найти его можно во вкладке Данные на Панели управления в выпадающем списке кнопки Анализ «что-если».

1. Зададимся простым квадратичным уравнением и найдем решение при х=0.

2. Переходите к инструменту и заполняете все необходимые поля

3. После проведения вычислений программа выдаст результат в ячейке с иксом.

4. Подставив полученное значение в исходное уравнение можно проверить правильность решения.

Второй метод

Используем графическое решение этого же уравнения. Суть заключается в том, что создается массив переменных и массив значений, полученных при решении выражения. Основываясь на этих данных, строится график. Место пересечения кривой с горизонтальной осью и будет неизвестной переменной.

1. Создаете два диапазона.

На заметку! Смена знака результата говорит о том, что решение находится в промежутке между этими двумя переменными.

2. Переходите во вкладку Вставка и выбираете обычный график.

3. Выбираете данные из столбца f (x), а в качестве подписи горизонтальной оси – значения иксов.

Важно! В настройках оси поставьте положение по делениям.

4. Теперь на графике четко видно, что решение находится между семеркой и восьмеркой ближе к семи. Чтобы узнать более точное значение, необходимо изменять масштаб оси и уточнять цифры в исходных массивах.

Такая исследовательская методика в первом приближении является достаточно грубой, однако позволяет увидеть поведение кривой при изменении неизвестных.

Третий метод

Решение систем уравнений можно проводить матричным методом. Для этого в редакторе есть отдельная функция МОБР. Суть заключается в том, что создаются два диапазона: в один выписываются аргументы при неизвестных, а во второй – значения в правой стороне выражения. Массив аргументов трансформируется в обратную матрицу, которая потом умножается на цифры после знака равно. Рассмотрим подробнее.

1. Записываете произвольную систему уравнений.

2. Отдельно выписываете аргументы при неизвестных в каждую ячейку. Если нет какого-то из иксов – ставите ноль. Аналогично поступаете с цифрами после знака равно.

3. Выделяете в свободной зоне диапазон ячеек равный размеру матрицы. В строке формул пишете МОБР и выбираете массив аргументов. Чтобы функция сработала корректно нажимаете одновременно Ctrl+Shift+Enter.

4. Теперь находите решение при помощи функции МУМНОЖ. Также предварительно выделяете диапазон размером с матрицу результатов и нажимаете уже известное сочетание клавиш.

Четвертый метод

Методом Гаусса можно решить практически любую систему уравнений. Суть в том, чтобы пошагово отнять одно уравнение из другого умножив их на отношение первых коэффициентов. Это прямая последовательность. Для полного решения необходимо еще провести обратное вычисление до тех пор, пока диагональ матрицы не станет единичной, а остальные элементы – нулевыми. Полученные значения в последнем столбце и являются искомыми неизвестными. Рассмотрим на примере.

Важно! Если первый аргумент является нулевым, то необходимо поменять строки местами.

1. Зададимся произвольной системой уравнений и выпишем все коэффициенты в отдельный массив.

2. Копируете первую строку в другое место, а ниже записываете формулу следующего вида: =C67:F67-$C$66:$F$66*(C67/$C$66).

Поскольку работа идет с массивами, нажимайте Ctrl+Shift+Enter, вместо Enter.

3. Маркером автозаполнения копируете формулу в нижнюю строку.

4. Выделяете две первые строчки нового массива и копируете их в другое место, вставив только значения.

5. Повторяете операцию для третьей строки, используя формулу

=C73:F73-$C$72:$F$72*(D73/$D$72). На этом прямая последовательность решения закончена.

6. Теперь необходимо пройти систему в обратном порядке. Используйте формулу для третьей строчки следующего вида =(C78:F78)/E78

7. Для следующей строки используйте формулу =(C77:F77-C84:F84*E77)/D77

8. В конце записываете вот такое выражение =(C76:F76-C83:F83*D76-C84:F84*E76)/C76

9. При получении матрицы с единичной диагональю, правая часть дает искомые неизвестные. После подстановки полученных цифр в любое из уравнений значения по обе стороны от знака равно являются идентичными, что говорит о правильном решении.

Метод Гаусса является одним из самых трудоемких среди прочих вариантов, однако позволяет пошагово просмотреть процесс поиска неизвестных.

Как видите, существует несколько методов решения уравнений в редакторе. Однако каждый из них требует определенных знаний в математике и четкого понимания последовательности действий. Однако для упрощения можно воспользоваться онлайн калькулятором, в который заложен определенный метод решения системы уравнений. Более продвинутые сайты предоставляют несколько способов поиска неизвестных.

Жми «Нравится» и получай только лучшие посты в Facebook ↓

Решение уравнений в Excel методом итераций Крамера и Гаусса

В программе Excel имеется обширный инструментарий для решения различных видов уравнений разными методами.

Рассмотрим на примерах некоторые варианты решений.

Решение уравнений методом подбора параметров Excel

Инструмент «Подбор параметра» применяется в ситуации, когда известен результат, но неизвестны аргументы. Excel подбирает значения до тех пор, пока вычисление не даст нужный итог.

Путь к команде: «Данные» — «Работа с данными» — «Анализ «что-если»» — «Подбор параметра».

Рассмотрим на примере решение квадратного уравнения х 2 + 3х + 2 = 0. Порядок нахождения корня средствами Excel:

Введем в ячейку В2 формулу для нахождения значения функции. В качестве аргумента применим ссылку на ячейку В1.
Открываем меню инструмента «Подбор параметра». В графе «Установить в ячейку» — ссылка на ячейку В2, где находится формула. В поле «Значение» вводим 0. Это то значение, которое нужно получить. В графе «Изменяя значение ячейки» — В1. Здесь должен отобразиться отобранный параметр.
После нажатия ОК отобразится результат подбора. Если нужно его сохранить, вновь нажимаем ОК. В противном случае – «Отмена».

Для подбора параметра программа использует циклический процесс. Чтобы изменить число итераций и погрешность, нужно зайти в параметры Excel. На вкладке «Формулы» установить предельное количество итераций, относительную погрешность. Поставить галочку «включить итеративные вычисления».

Как решить систему уравнений матричным методом в Excel

Дана система уравнений:

Значения элементов введем в ячейки Excel в виде таблицы.
Найдем обратную матрицу. Выделим диапазон, куда впоследствии будут помещены элементы матрицы (ориентируемся на количество строк и столбцов в исходной матрице). Открываем список функций (fx). В категории «Математические» находим МОБР. Аргумент – массив ячеек с элементами исходной матрицы.
Нажимаем ОК – в левом верхнем углу диапазона появляется значение. Последовательно жмем кнопку F2 и сочетание клавиш Ctrl + Shift + Enter.
Умножим обратную матрицу Ах -1х на матрицу В (именно в таком порядке следования множителей!). Выделяем диапазон, где впоследствии появятся элементы результирующей матрицы (ориентируемся на число строк и столбцов матрицы В). Открываем диалоговое окно математической функции МУМНОЖ. Первый диапазон – обратная матрица. Второй – матрица В.
Закрываем окно с аргументами функции нажатием кнопки ОК. Последовательно нажимаем кнопку F2 и комбинацию Ctrl + Shift + Enter.

Получены корни уравнений.

Решение системы уравнений методом Крамера в Excel

Возьмем систему уравнений из предыдущего примера:

Для их решения методом Крамера вычислим определители матриц, полученных заменой одного столбца в матрице А на столбец-матрицу В.

Для расчета определителей используем функцию МОПРЕД. Аргумент – диапазон с соответствующей матрицей.

Рассчитаем также определитель матрицы А (массив – диапазон матрицы А).

Определитель системы больше 0 – решение можно найти по формуле Крамера (D_x / |A|).

Для расчета Х₁: =U2/$U$1, где U2 – D1. Для расчета Х₂: =U3/$U$1. И т.д. Получим корни уравнений:

Решение систем уравнений методом Гаусса в Excel

Для примера возьмем простейшую систему уравнений:

3а + 2в – 5с = -1
2а – в – 3с = 13
а + 2в – с = 9

Коэффициенты запишем в матрицу А. Свободные члены – в матрицу В.

Для наглядности свободные члены выделим заливкой. Если в первой ячейке матрицы А оказался 0, нужно поменять местами строки, чтобы здесь оказалось отличное от 0 значение.

Приведем все коэффициенты при а к 0. Кроме первого уравнения. Скопируем значения в первой строке двух матриц в ячейки В6:Е6. В ячейку В7 введем формулу: =B3:Е3-$B$2:$Е$2*(B3/$B$2). Выделим диапазон В7:Е7. Нажмем F2 и сочетание клавиш Ctrl + Shift + Enter. Мы отняли от второй строки первую, умноженную на отношение первых элементов второго и первого уравнения.
Копируем введенную формулу на 8 и 9 строки. Так мы избавились от коэффициентов перед а. Сохранили только первое уравнение.
Приведем к 0 коэффициенты перед в в третьем и четвертом уравнении. Копируем строки 6 и 7 (только значения). Переносим их ниже, в строки 10 и 11. Эти данные должны остаться неизменными. В ячейку В12 вводим формулу массива.
Прямую прогонку по методу Гаусса сделали. В обратном порядке начнем прогонять с последней строки полученной матрицы. Все элементы данной строки нужно разделить на коэффициент при с. Введем в строку формулу массива: <=B12:E12/D12>.
В строке 15: отнимем от второй строки третью, умноженную на коэффициент при с второй строки (<=(B11:E11-B16:E16*D11)/C11>). В строке 14: от первой строки отнимаем вторую и третью, умноженные на соответствующие коэффициенты (<=(B10:E10-B15:E15*C10-B16:E16*D10)/B10>). В последнем столбце новой матрицы получаем корни уравнения.

Примеры решения уравнений методом итераций в Excel

Вычисления в книге должны быть настроены следующим образом:

Делается это на вкладке «Формулы» в «Параметрах Excel». Найдем корень уравнения х – х 3 + 1 = 0 (а = 1, b = 2) методом итерации с применением циклических ссылок. Формула:

M – максимальное значение производной по модулю. Чтобы найти М, произведем вычисления:

f’ (1) = -2 * f’ (2) = -11.

Полученное значение меньше 0. Поэтому функция будет с противоположным знаком: f (х) = -х + х 3 – 1. М = 11.

В ячейку А3 введем значение: а = 1. Точность – три знака после запятой. Для расчета текущего значения х в соседнюю ячейку (В3) введем формулу: =ЕСЛИ(B3=0;A3;B3-(-B3+СТЕПЕНЬ(B3;3)-1/11)).

В ячейке С3 проконтролируем значение f (x): с помощью формулы =B3-СТЕПЕНЬ(B3;3)+1.

Корень уравнения – 1,179. Введем в ячейку А3 значение 2. Получим тот же результат:

источники:

http://mir-tehnologiy.ru/reshenie-uravnenij-v-excel-primery-reshenij/

http://exceltable.com/otchety/reshenie-uravneniy

Источник

Многие задачи математики и статистики приходится решать электронно. В этом уроке мы подробно разберем, как без сложностей решить систему уравнений в Excel. Используя предложенные методики, вы сможете быстро и правильно справится даже с самыми сложными уравнениями.

Метод Гаусса для простых уравнений

Для простых уравнений, где три или меньше неизвестных, можно воспользоваться методом Гаусса. Вы можете решить одно уравнение или несколько одновременно. Будем решать по следующим данным:
2x+3y=12
3x−y=7.

Вставим наши уравнения в ячейки (желательно их оформить у самого края электронной книги).

Чуть ниже на этой странице делаем две небольшие таблицы, куда будут вноситься коэффициенты и свободные члены. Для этого оформим несколько ячеек со значением А (для коэффициентов) и несколько с шапкой В (для свободных членов)

Важно!

Будьте внимательны при внесении записей, все значения, которые расположены после знака равно, записываются в табличку В.

Теперь занимаемся первым уравнением. Для этого скопируем первую матрицу вместе со значением после знака равно. Размещаем ее ниже наших табличек на одну строчку.

Далее в ячейку ниже вводим подготовленную формулу: =B8:E8-$B7:7:E7∗(B8/7*(B8/B$7). Затем нажимаете комбинацию клавиш CTRL+SHIFT+ENTER. Во всей строке проставятся точные значения.

Далее вам нужно скопировать эту строку и продублировать ее на ячейку ниже. Теперь скопируем две первые строчки после пустующей строки. Для этого выделим их и нажмем комбинацию CTRL+C или при помощи встроенного инструмента «Копировать» на панели управления.

Отступаем одну строчку и на следующей делаем выделение пустой ячейки курсором мыши. Затем вызываем выпадающий список путем нажатия на правую кнопку мыши. Теперь выбираем пункт «Специальная вставка», появится дополнительный список, в котором необходимо отметить «Вставить значения».

Как видим, в нашем случае высвечивается ошибка о запрете деления на «0». В вашем случае, это будут другие значения.

В дальнейшем вам необходимо сделать обратную прогонку. Для этого отступим три пустые строки на странице, а в четвертую вставим формулу: =B17:E17/D17. Затем выделяем строчку и жмем все ту же комбинацию клавиш CTRL+SHIFT+ENTER.

В результате, при проведении правильных расчетов вы должны получить ответы на буквенные символы. Однако, этот метод требует внимательности и точного ввода формул, с чем не каждый пользователь справляется, поэтому рассмотрим другой вариант для решения.

Полезно знать!

Аналогичным способом проводим вычисление неизвестных аргументов для второго и третьего уравнений, если они присутствуют, и представляют собой целую систему.

Решение квадратного уравнения с подбором параметров

Предположим, есть буквенное выражение 5×2 + 3x + 7 = 0. Чтобы его решить вручную, придется тратить время на каждое действие. При помощи Excel, а именно подбора параметров, сделать это можно в считанные минуты.

Открываем новый лист Excel и вносим уравнение в первую ячейку. Отступим одну строку вниз и пропишем значение для Х=0. Далее будем высчитывать его через строку формул F(х), обязательно прописываем выражение в отдельной ячейке.

После этого заносим следующую формулу после знака равно в строке формул. Обязательно учитывайте, что ваши значения будут другими. Делайте на примере нашего выражения. Итак, вставляем =5x^2+3 x+7, при этом вместо значения X вы должны вставить адрес ячейки, в которой обозначено, за какое число принято неизвестное, то есть «0». Затем нажимаем кнопку ENTER.

В ячейке, отвечающей за значение в строке формулы, вы получаете конкретное число. Теперь заходим во вкладку «Данные», переходим к пункту «Анализ «что, если»». Нажимаем на него и открываем дополнительный список, в котором кликаем по записи «Подбор параметра».

Перед вами открывается окно с ячейками для заполнения. Нам необходимо прописать значения во всех трех ячейках. Давайте сделаем все по порядку. В поле «Установить в ячейке» прописываем адрес ячейки с найденным числом. Следующее поле «Значение» ставим «0», а в ячейке «Изменяя значение», указываем адрес значения X, то есть ту графу, где прописан «0». После проделанных манипуляций нажимаем кнопку «Ок».

Важно!

Обратите внимание, при правильном вводе всех данных начнется автоматический расчет с посекундным изменением чисел в ячейках. Поэтому дождитесь остановки и внесите подтверждение для всплывшего окна.

Теперь в появившемся окне нажимаем кнопку «ОК» для сохранения. Мы видим, что программа нашла ответ на наше уравнение, это будет «-1». Таким образом мы разобрали самые простые способы решения уравнений, с которыми разберётся даже начинающий пользователь офисной программы Microsoft Excel.

Источник

В программе Excel имеется обширный инструментарий для решения различных видов уравнений разными методами.

Рассмотрим на примерах некоторые варианты решений.

Решение уравнений методом подбора параметров Excel

Путь к команде: «Данные» — «Работа с данными» — «Анализ «что-если»» — «Подбор параметра».

Рассмотрим на примере решение квадратного уравнения х² + 3х + 2 = 0. Порядок нахождения корня средствами Excel:

Введем в ячейку В2 формулу для нахождения значения функции. В качестве аргумента применим ссылку на ячейку В1.

Открываем меню инструмента «Подбор параметра». В графе «Установить в ячейку» — ссылка на ячейку В2, где находится формула. В поле «Значение» вводим 0. Это то значение, которое нужно получить. В графе «Изменяя значение ячейки» — В1. Здесь должен отобразиться отобранный параметр.

После нажатия ОК отобразится результат подбора. Если нужно его сохранить, вновь нажимаем ОК. В противном случае – «Отмена».

Как решить систему уравнений матричным методом в Excel

Дана система уравнений:

Значения элементов введем в ячейки Excel в виде таблицы.

Найдем обратную матрицу. Выделим диапазон, куда впоследствии будут помещены элементы матрицы (ориентируемся на количество строк и столбцов в исходной матрице). Открываем список функций (fx). В категории «Математические» находим МОБР. Аргумент – массив ячеек с элементами исходной матрицы.

Нажимаем ОК – в левом верхнем углу диапазона появляется значение. Последовательно жмем кнопку F2 и сочетание клавиш Ctrl + Shift + Enter.

Умножим обратную матрицу Ах^-1х на матрицу В (именно в таком порядке следования множителей!). Выделяем диапазон, где впоследствии появятся элементы результирующей матрицы (ориентируемся на число строк и столбцов матрицы В). Открываем диалоговое окно математической функции МУМНОЖ. Первый диапазон – обратная матрица. Второй – матрица В.

Закрываем окно с аргументами функции нажатием кнопки ОК. Последовательно нажимаем кнопку F2 и комбинацию Ctrl + Shift + Enter.

Получены корни уравнений.

Решение системы уравнений методом Крамера в Excel

Возьмем систему уравнений из предыдущего примера:

Для расчета определителей используем функцию МОПРЕД. Аргумент – диапазон с соответствующей матрицей.

Рассчитаем также определитель матрицы А (массив – диапазон матрицы А).

Определитель системы больше 0 – решение можно найти по формуле Крамера (D_x / |A|).

Для расчета Х₁: =U2/$U$1, где U2 – D1. Для расчета Х₂: =U3/$U$1. И т.д. Получим корни уравнений:

Решение систем уравнений методом Гаусса в Excel

Для примера возьмем простейшую систему уравнений:

3а + 2в – 5с = -1
2а – в – 3с = 13
а + 2в – с = 9

Коэффициенты запишем в матрицу А. Свободные члены – в матрицу В.

Приведем все коэффициенты при а к 0. Кроме первого уравнения. Скопируем значения в первой строке двух матриц в ячейки В6:Е6. В ячейку В7 введем формулу: =B3:Е3-$B$2:$Е$2*(B3/$B$2). Выделим диапазон В7:Е7. Нажмем F2 и сочетание клавиш Ctrl + Shift + Enter. Мы отняли от второй строки первую, умноженную на отношение первых элементов второго и первого уравнения.

Копируем введенную формулу на 8 и 9 строки. Так мы избавились от коэффициентов перед а. Сохранили только первое уравнение.

Приведем к 0 коэффициенты перед в в третьем и четвертом уравнении. Копируем строки 6 и 7 (только значения). Переносим их ниже, в строки 10 и 11. Эти данные должны остаться неизменными. В ячейку В12 вводим формулу массива.

Прямую прогонку по методу Гаусса сделали. В обратном порядке начнем прогонять с последней строки полученной матрицы. Все элементы данной строки нужно разделить на коэффициент при с. Введем в строку формулу массива: {=B12:E12/D12}.

В строке 15: отнимем от второй строки третью, умноженную на коэффициент при с второй строки ({=(B11:E11-B16:E16*D11)/C11}). В строке 14: от первой строки отнимаем вторую и третью, умноженные на соответствующие коэффициенты ({=(B10:E10-B15:E15*C10-B16:E16*D10)/B10}). В последнем столбце новой матрицы получаем корни уравнения.

Примеры решения уравнений методом итераций в Excel

Вычисления в книге должны быть настроены следующим образом:

Делается это на вкладке «Формулы» в «Параметрах Excel». Найдем корень уравнения х – х³ + 1 = 0 (а = 1, b = 2) методом итерации с применением циклических ссылок. Формула:

Х_n+1 = X_n– F (X_n) / M, n = 0, 1, 2, … .

M – максимальное значение производной по модулю. Чтобы найти М, произведем вычисления:

f’ (1) = -2 * f’ (2) = -11.

Полученное значение меньше 0. Поэтому функция будет с противоположным знаком: f (х) = -х + х³ – 1. М = 11.

В ячейке С3 проконтролируем значение f (x): с помощью формулы =B3-СТЕПЕНЬ(B3;3)+1.

Корень уравнения – 1,179. Введем в ячейку А3 значение 2. Получим тот же результат:

Скачать решения уравнений в Excel

Корень на заданном промежутке один.

Источник

Р
ешение
уравнений в Excel

Функция Подбор
параметра может быть использована в
следующих случаях:

А) нахождение
значения аргумента (параметра) функции,
соответствующего определённому значению
функции (в том числе 0);

Б) нахождение
значений аргумента (параметра) функции
при изменении вида её графика.

А.
Использование функции Подбор параметра
для нахождения значения аргумента
функции, соответствующего заданному
значению функции

Первый случай
использования иначе может быть представлен
таким образом: поиск определенного
результата для ячейки с помощью подбора
значения другой ячейки.

Например, одна
ячейка содержит формулу, в которой есть
ссылки на другую ячейку.

Значение в ячейке
С1 представляет собой среднее арифметическое
значение в ячейках А1 и В1:

Допустим, что для
целей исследования необходимо найти
значение, которое должна принять ячейка
А1, для того чтобы ячейка С1 приняла
значение 855.

Безусловно, можно
самостоятельно путём перебора значений
в ячейке А1 достичь необходимый результат.
Однако, в целях минимизации затрат
времени следует воспользоваться функцией
Подбор параметра.

Для этого необходимо:

выполнить команду
Подбор параметра из меню Сервис.

В результате
появится запрос Подбор параметра :

в поле Установить
в ячейке ввести ссылку или имя ячейки,
содержащую формулу, для которой следует
подобрать параметр. Автоматически в
поле Установить в ячейке отображается
имя ячейки, которая была активной на
момент выполнения команды Подбор
параметра из меню Сервис. Кнопка
свёртывания окна диалога
,
расположенная справа от поля, позволяет
временно убрать диалоговое окно с
экрана, чтобы было удобнее выделить
диапазон на листе. Выделив диапазон,
следует нажать кнопку

для вывода на экран диалогового окна.
в поле Значение
ввести число, которое должно возвращать
формула с искомым значением параметра.
Например, 855.
в поле Изменяя
значение ячейки указать ссылку на
ячейку, содержащую параметр, значение
которого требуется подобрать для
получения требуемого результата. На
эту ячейку прямо или косвенно должна
ссылаться формула, содержащаяся в
ячейке, адрес которой указан в поле
Установить в ячейке. В нашем случае
это А1.

В итоге диалоговое
окно примет следующий вид:

нажать кнопку ОК
для закрытия диалогового окна. После
выполнения этого действия появляется
запрос Результат подбора параметра,
а искомое значение параметра
отображается в ячейке А1:

Б.
Использование функции Подбор параметра
для нахождения значения аргумента
функции при изменении вида ее графика.

Допустим, что для
решения поставленной задачи нам предстоит
проанализировать построенный в Ms
Excel график функции y
= 2*x-2 в диапазоне аргумента
от –3 до 6.

Для этого следует:

1) в ячейки А1-А10
ввести значения от –3 до 6 с шагом 1; в
ячейку В1 – ввести формулу 2*А1-2 и путём
перетаскивания маркера заполнения
скопировать
эту формулу на ячейки В2-В10. В результате
соответствующий участок листа примет
следующий вид:

выделив диапазон
В1-В10, нажать кнопку Мастер диаграмм
на Стандартной панели инструментов.
на первом шаге
работы Мастера диаграмм выбрать
тип диаграммы График;
на втором шаге
работы Мастера диаграмм на вкладке
Ряд в поле Подписи по оси Х задать
диапазон А1-А10;
последовательными
нажатиями кнопки Далее и Готово
закончите работу Мастера.

В результате должен
быть построен график функции:

Далее предположим,
что необходимо узнать значение аргумента
данной функции, при котором значение
самой функции будет равно 0.

Чтобы решить эту
задачу с помощью построенного графика
и функции Подбор параметра необходимо:

щелчком левой
кнопки мыши на графике выделить ряд
данных, содержащий маркер данных,
который нужно изменить,

а затем выделить
щелчком сам маркер

перетащить маркер
до уровня, соответствующего требуемому
значению функции:

если значение
маркера данных получено из формулы,
появится диалоговое окно Подбор
параметра:

в поле Установить
в ячейке отображается ссылка на
ячейку, содержащую формулу, в поле
Значение — требуемая величина

в поле Изменяя
значение ячейки выбрать ячейку,
значение которой нужно изменить (А6) и
нажать кнопку ОК.

При подборе можно
изменять только одну ячейку.

При этом исходное
значение аргумента в ряде данных сменится
на значение, полученное в результате
подбора параметра

Решение уравнений

Функция Подбор параметра позволяет
находить одно значение аргумента,
соответствующее заданному значению
функции (например, 0). Однако часто функция
может принимать одно значение при
нескольких значениях аргументов. То
есть уравнение может иметь несколько
корней.

Например, функция у=3*х² -15 может
принимать значение 0 при двух значениях
аргументов.

Однако, функция Подбор параметра
найдет только один корень уравнения
– самый близкий к значению в ячейке,
указанной в поле Изменяя значение
ячейки.

Так, если попытаться решить указанное
выше уравнение с помощью Ms
Excel и встроенной в него
функции Подбор параметра, то исходные
данные можно представить в следующем
виде:

Выполнив команду
Подбор параметра из меню Сервис,
необходимо заполнить поля диалогового
окна следующим образом:

В результате
найденным корнем уравнения будет
значение 2,2360797 в ячейке А4

Однако, это не
единственный корень. В этом можно
убедиться, решив уравнение или построив
график функции у=3*х²-15

Для построения
графика следует:

1) в ячейки С4-С24
ввести значения от –10 до 10 с шагом 1; в
ячейку D1 – ввести формулу
3*C4*C4-15 и
путём перетаскивания маркера заполнения
заполнить этой формулой ячейки D5-D24;

выделив диапазон
D4-D24, нажать
кнопку Мастер диаграмм на Стандартной
панели инструментов;
на первом шаге
работы Мастера диаграмм выбрать
тип диаграммы График;
на втором шаге
работы Мастера диаграмм в закладке
Ряд в поле Подписи по оси Х указать
диапазон С4-С24;
последовательными
нажатиями кнопки Далее и Готово
закончить работу Мастера.

В результате должен
быть построен график функции:

Из графика видно,
что уравнение 3*x²-15=0
имеет 2 корня, к тому же эти корни примерно
равны –2 и 2. Одни корень 2,2360797 нам уже
известен.

Для поиска второго
корня можно поступить двояко, используя
пункт А или Б:

А. Изменим значение,
например, в ячейке С4 на –2 (более близкое
к ожидаемому корню). Выделим ячейку D4
и выполним команду Подбор параметра
из меню Сервис. Заполним поля
запроса:

и после щелчка по
кнопке ОК в ячейке С4 получим значение
второго корня -2,23606503:

Б. Построим график
функции в интервале от -10 до 10:

Щелчком левой
кнопки мыши на графике выделим ряд
данных, содержащий маркер данных, близкий
ко второму корню:

Выделим щелчком
этот маркер:

Перетащим маркер
до уровня, соответствующего требуемому
значению функции (а именно вниз до 0):

Заполним поле
Изменяя значение ячейки запроса:

И щелкнув по кнопке
ОК, в ячейке С8 получим значение второго
корня:

Вы могли обратить
внимание, что значения корня, полученные
в п.А и п.Б имеют несущественное отличие.
Это вызвано следующим обстоятельством.
По умолчанию команда Подбор параметра
прекращает итерационные вычисления,
когда выполняется 100 итераций, либо при
получении результата, который находится
в пределах 0,001 от заданного целевого
значения. Если нужна большая точность,
можно изменить используемые по умолчанию
параметры командой Параметры меню
Сервис. Затем на вкладке Вычисления
в поле Предельное число итераций
введите значение больше 100, а в поле
Относительная погрешность – значение
меньше 0,001.

Если Ms
Excel выполняет сложную
задачу подбора параметра, можно нажать
кнопку Пауза в окне запроса Результат
подбора параметра и прервать вычисления,
а затем нажать кнопку Шаг, чтобы
просмотреть результаты каждой
последовательной итерации. Когда Вы
решаете задачу в пошаговом режиме, в
этом окне запроса появляется кнопка
Продолжить. Нажмите ее, когда решите
вернуться в обычный режим подбора
параметра.

Источник

Создание уравнений и формул

В этом курсе:

Office содержит формулы, которые вы можете легко вставлять в документы. Если встроенные формулы Office вас не устраивают, можно править и изменять существующие уравнения или написать собственную формулу с нуля.

Новые возможности для работы с формулами в Word

Учащиеся и преподаватели, участвующие в программе предварительной оценки Ваши пожелания услышаны! Вот верхний требуемый синтаксис математического уравнения LaTeX.

Доступно для подписчиков версии 1707 (сборка 8326,2058) и более новой.

На вкладке Вставка нажмите кнопку Уравнение и выберите нужную формулу в коллекции.

После вставки формулы откроется вкладка Работа с формулами > Конструктор, содержащая символы и структуры, которые можно добавить к вашей формуле.

Для набора новой формулы с нуля нажмите Alt += на клавиатуре.

Выберите Вставка > Формула и выберите Вставить новую формулу в нижней части встроенной коллекции формул. Вставится заполнитель, в котором можно ввести формулу.

Добавление формулы в коллекцию

Выделите формулу, которую нужно добавить.

Щелкните стрелку вниз и выберите Сохранить как новую формулу. .

В диалоговом окне Создание нового стандартного блока введите имя формулы.

В списке коллекции выберите пункт Формулы.

Нажмите кнопку ОК.

Для изменения или правки созданных ранее формул:

Выберите формулу для открытия вкладки Работа с формулами в ленте.

Примечание: Если вы не видите вкладку Работа с формулами, то, вероятно, формула была создана в более поздней версии Word. Если это так, то см. раздел Изменение формулы, созданной в предыдущей версии Word.

Выберите Конструктор, чтобы увидеть инструменты для добавления в формулу различных элементов. Можно добавить или изменить следующие элементы формулы.

В группе Символы находятся математические символы. Чтобы увидеть все символы, нажмите кнопку Еще. Чтобы просмотреть другие наборы символов, щелкните стрелку в правом верхнем углу коллекции.

В группе Структуры представлены структуры, которые можно вставить. Просто выберите элемент, а затем замените заполнители в структуре (штрихпунктирные прямоугольники) нужными значениями.

Параметр Профессиональный отображает формулу в профессиональном формате, оптимизированном для отображения. Параметр Линейный отображает формулу как исходный текст, который при необходимости можно использовать для внесения изменений в формулу. Параметр «Линейный» отображает формулу в формате UnicodeMath или в формате LaTeX, который можно выбрать в блоке «Преобразования».

Преобразовать в формат «Профессиональный» или «Линейный» можно все формулы в документе или только одну, если выбрать математическую зону или навести курсор на формулу.

На устройствах с поддержкой сенсорного ввода и пера можно писать формулы пером или пальцем. Для рукописного ввода формулы

Выберите Рисование > Преобразовать рукописный фрагмент в математические символы, а затем выберите Рукописное уравнение в нижней части встроенной галереи.

С помощью пера или пальца введите математическую формулу от руки. Если у устройства нет сенсорного экрана, напишите уравнение с помощью мыши. Вы можете выделять части формулы и редактировать их по мере ввода, а затем с помощью окна предварительного просмотра проверять, правильно ли Word распознает то, что вы написали.

Завершив ввод, щелкните Вставить, чтобы преобразовать текст, который вы только что написали, в формулу.

См. также

Примечание: Эта страница переведена автоматически, поэтому ее текст может содержать неточности и грамматические ошибки. Для нас важно, чтобы эта статья была вам полезна. Была ли информация полезной? Для удобства также приводим ссылку на оригинал (на английском языке).