history 27 ноября 2022 г.
- Группы статей
Вычислим в MS EXCEL определенный интеграл методом Симпсона (англ. Simpson’s rule). Покажем как оценить ошибку интегрирования, построим график функции.
Примечание: Основная статья про численное интегрирование — Интегрирование в MS EXCEL. Метод трапеций. В этой статье дана небольшая теория.
В данной статье используем тот же полином третьего порядка, что и в статье про Метод трапеций. Т.к. метод Симпсона использует параболу для аппроксимации подинтегральной функции, то при нахождении этим методом интеграла от полинома третьего порядка (и ниже) мы будем получать точное значение (это можно доказать строго математически). Т.е. ошибка интегрирования точно равна 0.
Построение модели
Для определенности вычислим интеграл для функции-многочлена f(𝑥)=𝑥3−5𝑥2+6𝑥+1. График этой функции в диапазоне от 0 до 4 выглядит следующим образом (см. файл примера).
Примечание: про тонкости построения графика функции можно прочитать в этой статье https://excel2.ru/articles/grafik-vs-tochechnaya-diagramma-v-ms-excel.
В файле примера построим таблицу значений функции для 41 точки (от 0 до 40), что составляет 40 интервалов (для метода Симпсона обязательно должно быть ЧЕТНОЕ количество интервалов).
Формула для вычисления интеграла Методом Симпсона следующая:
Примечание: В файле примера вместо Δх (шаг по х) будем использовать символ h, который используется в математических формулах численного интегрирования гораздо чаще, чем Δх. Хотя для первого знакомства, конечно, Δх является более знакомым обозначением шага изменения х.
Как видно из формулы, чтобы вычислить значение интеграла достаточно сложить значения y=f(x) в узлах сетки с определенным весом:
- Значения в узлах 0 и n, которые соответствуют пределам интегрирования а и b, берутся с весом 1;
- Значения в узлах с нечетным индексом берутся с весом 4;
- Значения в узлах с четным индексом берутся с весом 2.
В MS EXCEL вычислить веса по этому правилу можно с помощью простой формулы =ЕСЛИ(ИЛИ(A19=0;A19=$E$12);1; ЕСЛИ(ЕНЕЧЁТ(A19);4;2)). В файле примера это реализовано в столбце D (дополнительно вес домножен на соответствующее значение y).
В итоге, значение определенного интеграла, вычисленное по методу Симпсона, можно записать простой формулой =СУММ(D19:D59)*E13/3
Вычислив интеграл аналитически, можно убедиться, что полученное значение точно равно значению, вычисленного формулами (напомним, что это справедливо только для полиномов не выше третьего порядка).
Ошибка интегрирования
Формула для оценки ошибки интегрирования основана на вычислении 4-й (!) производной, что достаточно трудоемко и совсем не удобно для реализации в MS EXCEL.
После вычисления 4-й производной подинтегральной функции нужно найти ее максимум в интервале интегрирования, а затем подставить в вышеуказанную формулу. Понятно, что для полиномов не выше третьего порядка оценка будет равна 0, а значит точность метода Симпсона для таких функций выше чем Метод трапеций.
Для более сложных функций нахождение 4-й производной будет трудоемко, но к счастью есть много сайтов, которые помогут в этом вопросе, например https://www.derivative-calculator.net/
Настраиваемый интервал
На листе Настраиваемый интервал сделана удобная форма для вычисления интеграла при различных значениях шага интегрирования. График функции также перестраивается динамически благодаря использованию Имен и функции СМЕЩ().
Данная форма удобна когда необходимо ответить на вопрос «Какой шаг сетки нужно выбрать, чтобы точность интегрирования была не хуже заданному значению?». Правда, для этого потребуется вычислить 4-ю производную, найти максимум этой функции и, наконец, по формуле оценить ошибку.
Лирическое отступление
Зачем оценивать ошибку интегрирования? Можно ведь взять «маленький» шаг сетки и заведомо получить «точный» результат, и не важно что потребуется сделать 1000 или более шагов интегрирования, ведь вычислительные мощности так дешевы!
На этот счет есть 2 замечания: для больших интервалов интегрирования может потребоваться слишком много шагов и если вычисление интеграла лишь часть задачи, да еще и если оно находится в цикле, то это может замедлить работу программы. И второй момент: если мы не знаем ошибки, то как мы можем быть уверены, что вычисленное значение нам подходит? Например, мы вычисляем интеграл, чтобы получить значение, которое мы будем затем сравнивать с неким критерием. Если значение больше критерия, то мы принимаем одно решение, а если нет, то другое. Из-за недостаточной точности вычисления интеграла может случиться, что будет принято неверное решение, что соответственно приведет к некорректной работе программы (в определенной ситуации).
Содержание
- — Есть ли в Excel функция интеграции?
- — Какая формула интеграла?
- — Можете ли вы проводить расчеты в Excel?
- — Что значит решить интеграл?
- — Что такое стандартный интеграл?
- — Что такое интеграл от 1?
- — Как вы различаете данные в Excel?
Функции численного интегрирования в Excel
Используйте QUADF для вычисления правильного или неправильного интеграла любой формулы или пользовательской функции VBA с использованием высокоточных адаптивных алгоритмов. Использовать QUADXY для интеграции дискретного набора точек данных (x, y) с использованием линейных или кубических сплайнов.
Какая формула интеграла?
∫f (x) dx = F (x) + C, если F ′ (x) = f (x). В этом определении называется интегральным символом, f (x) называется подынтегральным выражением, x называется переменной интегрирования, dx называется дифференциалом переменной x, а C называется константой интегрирования.
Можете ли вы проводить расчеты в Excel?
Программа электронных таблиц Microsoft Excel содержит множество математических функций, но имеет нет включить исчисление в стандартную версию. … Эти пакеты расширяют математические возможности Excel, позволяя использовать вычисления в электронных таблицах. Некоторые из этих функций работают с уравнениями; другие выполняют вычисления на числовых данных.
Что значит решить интеграл?
Нахождение интеграла. функции по x означает нахождение площади до оси x от кривой. Интеграл обычно называют. антипроизводная, потому что интегрирование — это процесс, обратный дифференциации.
Что такое стандартный интеграл?
Стандартный интеграл — это один из списка общих интегралов, которые, как ожидается, вы выучили или которые можно найти в таблице. Очень распространенные примеры: ∫1xdx = ln | x | + C. ∫exdx = ex + C.
Что такое интеграл от 1?
Определенный интеграл от 1 равен площадь прямоугольника между x_lo и x_hi, где x_hi> x_lo. В общем случае неопределенный интеграл от 1 не определен, за исключением неопределенности аддитивной действительной константы C. Однако в частном случае, когда x_lo = 0, неопределенный интеграл от 1 равен x_hi.
Как вы различаете данные в Excel?
Рассчитать разница между два числа, введя формулу в новую пустую ячейку. Если A1 и B1 являются числовыми значениями, вы можете использовать формулу «= A1-B1». Ваши ячейки не обязательно должны быть в том же порядке, что и ваша формула. Например, вы также можете использовать формулу «= B1-A1» для вычисления другого значения.
Интересные материалы:
Какая самая тяжелая чума в Plague Inc?
Какая самая тяжелая машина в мире?
Какая самая тяжелая жидкость на Земле?
Какая самая удобная пригородная машина?
Какая самая важная роль BIOS?
Какая самая важная роль дискретной математики?
Какая самая важная сила дома?
Какая самая важная сила FCC?
Какая самая важная цель общения?
Какая самая высокая башня в Москве?
При стремлении постичь нечто сложное, громоздкое, непонятное следует «разбить» его на как можно большее количество простых, мелких, понятных частей, изучить их с помощью существующих инструментов, а затем «сложить» эти результаты и получить итоговый ответ.
Формулировка в предыдущем предложении определяет сущность понятия интегрирования.
Интеграл чего-либо – это сумма всех малых частей этого чего-либо. Чем больше количество этих малых частей, тем точнее значение интеграла соответствует действительности, определяя признак изучаемого объекта.
Интегрирование применимо для изучения свойств физических и философских объектов при условии, что эти свойства остаются неизменными как для «мелкой» части, так и для всего объекта в целом.
Функция – это описание зависимости некоторого признака или свойства объекта от аргумента.
Объект – плоская фигура между графиком функции и осью абсцисс.
Признак (значение функции) – высота фигуры.
Аргумент (независимая переменная) – ширина фигуры.
Функция – описание зависимости высоты от ширины.
Определенный интеграл функции – площадь фигуры. Площадь тоже является признаком фигуры, но зависит от двух переменных – высоты и ширины – и представляет собой качественно иной новый признак.
Теория.
Подробно рассмотрим два наиболее точных метода численного интегрирования функции одной переменной – метод трапеций и метод парабол или метод Симпсона. Есть еще метод прямоугольников, но мы его проигнорируем из-за невысокой точности.
Все, что требуется для понимания и применения метода трапеций и метода Симпсона на практике представлено далее на рисунке.
Площадь под кривой y = f ( x ) разбиваем на n-1 криволинейных трапеций, у которых три стороны – это прямые линии, а одна сторона – участок кривой y =f ( x ). Суммарная площадь под графиком функции на участке от x1 до xn – это и есть искомая величина, которая является определенным интегралом функции на этом участке и находится как сумма площадей всех криволинейных трапеций.
Точно вычислить аналитически площадь криволинейной трапеции бывает сложно или даже невозможно.
Для приближенного вычисления площади криволинейной трапеции можно заменить участок кривой прямой линией и, получив простую фигуру – обычную трапецию, найти по известной формуле ее площадь. В этом суть метода трапеций.
Если участок кривой линии над двумя криволинейными трапециями заменить параболой, проведенной через три характерные точки, то получим новую криволинейную трапецию с одной из сторон в виде параболы. Количество новых фигур будет в два раза меньше, чем количество исходных трапеций. Площадь этих новых фигур вычисляется по простой формуле. В этом смысл метода Симпсона.
Идею замены участка любой кривой участком параболы высказывал Исаак Ньютон, но первым вывел формулу английский математик Томас Симпсон. Метод Симпсона для вычисления интегралов является самым точным из приближенных численных методов.
Если вычисление интегралов методом трапеций не имеет ограничений, то для того, чтобы реализовать метод Симпсона необходимо выполнить два условия.
1. Разбить площадь на четное количество частей, то есть n должно быть нечетным числом!
2. Расстояния между точками по оси x должны быть одинаковыми!
Практика вычисления интегралов в Excel.
Определенной сложностью является связать вычисление интегралов с реальными задачами из жизни. Рассмотрение примеров – лучший способ устранения подобных препятствий.
Определение тепловой энергии.
Мой знакомый из города Улан-Удэ Алексей Пыкин проводит испытания воздушных солнечных PCM-коллекторов производства КНР. Воздух из помещения подается вентилятором в коллекторы, нагревается от солнца и поступает назад в помещение. Каждую минуту измеряется и записывается температура воздуха на входе в коллекторы и на выходе при постоянном воздушном потоке. Требуется определить количество тепловой энергии полученной в течение суток.
Более подробно о преобразовании солнечной энергии в тепловую и электрическую и об экспериментах Алексея я постараюсь рассказать в отдельной статье. Следите за анонсами, многим, я думаю, это будет интересно.
Запускаем MS Excel и начинаем работу – выполняем вычисление интеграла.
1. В столбец B вписываем время проведения измерения τi .
2. В столбец C заносим температуры нагретого воздуха t2i , измеренные на выходе из коллекторов в градусах Цельсия.
3. В столбец D записываем температуры холодного воздуха t1i , поступающего на вход коллекторов.
4. В столбце E вычисляем разности температур dti на выходе и входе
5. Зная удельную теплоемкость воздуха c =1005 Дж/(кг*К) и его постоянный массовый расход (измеренная производительность вентилятора) G =0,02031 кг/с, определяем мощность установки Ni в КВт в каждый из моментов времени в столбце F
Ni = c * G * dti
На графике ниже показана экспериментальная кривая зависимости мощности, развиваемой коллекторами, от времени.
Количество тепловой энергии, выработанной за промежуток времени – это интеграл этой функции, и значение интеграла – это заштрихованная площадь под кривой.
6. Вычисляем в ячейках столбца G площади трапеций, суммируем их и находим общее количество энергии, выработанной за день
Q =Σ Qi =10,395 КВт*час
7. Рассчитываем в ячейках столбца H элементарные площади по методу парабол, суммируем их и находим общее количество энергии по методу Симпсона
Q =Σ Qj =10,395 КВт*час
Как видим, значения не отличаются друг от друга. Оба метода демонстрируют одинаковые результаты!
Исходная таблица содержит 421 строку. Давайте уменьшим её в 30 раз и оставим всего 15 строк, увеличив тем самым интервалы между замерами с 1 минуты до 30 минут.
По методу трапеций: Q =10,220 КВт*час (-1,684%)
По методу Симпсона: Q =10,309 КВт*час (-0,827%)
Не смотря на оставшуюся неожиданно весьма высокую точность полученных результатов, метод трапеций дает в данном случае относительную ошибку в 2 раза большую, чем метод Симпсона.
Общие выводы.
Вычисление интегралов численными методами в Excel позволяет эффективно и быстро решать сложные практические задачи, обеспечивая очень высокую точность результатов.
Так как мы существуем в пространстве и времени, то и всё окружающее нас изменяется или в пространстве или во времени. Это означает, что аргументом x функций y интересующих нас процессов или объектов чаще всего являются длина или время. Например, пройденный путь – это интеграл функции скорости (аргумент – время), площадь плотины – это интеграл функции высоты (аргумент – длина), и т.д.
Понимание сути интегрального исчисления и умение использовать его на практике вооружает вас, как специалиста, мощным оружием в осознанном изучении окружающего мира!
Отзывы и комментарии к статье, уважаемые читатели, пишите в блоке, расположенном ниже статьи.
Чтобы получать информацию о выходе новых статей на блоге подпишитесь на анонсы в окне, расположенном вверху страницы или сразу после статьи. Введите адрес своей электронной почты, нажмите на кнопку «Получать анонсы статей» и подтвердите подписку кликом по ссылке в письме, которое придет к вам на указанную почту. С этого момента к вам на почтовый ящик будет пару раз в месяц приходить небольшое уведомление о появлении на моем блоге новой статьи.
Прошу УВАЖАЮЩИХ труд автора скачать файл ПОСЛЕ ПОДПИСКИ на анонсы статей.
Ссылка на скачивание файла с примером: vychisleniye-integralov (xls 216,0KB).
Примеры интегрирования по частям логарифма и обратных тригонометрических функций
Интегрирование функций рационально зависящих от тригонометрических функций
1. Интегралы вида ∫ sin n xdx , ∫ cos n xdx , n>0
a) Если n нечётное, то одну степень sinx (либо cosx ) следует внести под знак дифференциала, а от оставшейся чётной степени следует перейти к противоположной функции.
б) Если n чётное, то пользуемся формулами понижения степени
2sin 2 x=1-cos2x , 2cos 2 x=1+cos2x .
2. Интегралы вида ∫ tg n xdx , ∫ ctg n xdx , где n – целое.
Необходимо использовать формулы
3. Интегралы вида ∫ sin n x·cos m x dx
а) Пусть m и n разной чётности. Применяем подстановку t=sin x , если n – нечётное либо t=cos x , если m – нечётное.
б) Если m и n чётные, то пользуемся формулами понижения степени
2sin 2 x=1-cos2x , 2cos 2 x=1+cos2x .
4. Интегралы вида
3. Интегралы вида ∫ sin n x·cos m x dx
а) Пусть m и n разной чётности. Применяем подстановку t=sin x , если n – нечётное либо t=cos x , если m – нечётное.
б) Если m и n чётные, то пользуемся формулами понижения степени
2sin 2 x=1-cos2x , 2cos 2 x=1+cos2x .
4. Интегралы вида
Если числа m и n одинаковой чётности, то используем подстановку t=tg x . Часто бывает удобным применить приём тригонометрической единицы.
5. ∫ sin(nx)·cos(mx)dx , ∫ cos(mx)·cos(nx)dx , ∫ sin(mx)·sin(nx)dx
Воспользуемся формулами преобразования произведения тригонометрических функций в их сумму:
- sin α·cos β = ½(sin(α+β)+sin(α-β))
- cos α·cos β = ½(cos(α+β)+cos(α-β))
- sin α·sin β = ½(cos(α-β)-cos(α+β))
- Решение онлайн
- Видеоинструкция
Примеры
1. Вычислить интеграл ∫ cos 4 x·sin 3 xdx .
Делаем замену cos(x)=t . Тогда ∫ cos 4 x·sin 3 xdx =
2. Вычислить интеграл 
.
Делая замену sin x=t , получаем
3. Найти интеграл 
.
Делаем замену tg(x)=t . Подставляя, получаем
Основные тригонометрические формулы
Ниже приведены некоторые тригонометрические формулы, которые могут понадобится при интегрировании тригонометрических функций.
sin 2 a + cos 2 a = 1
sin ( a+b ) = sin a cos b + cos a sin b
cos ( a+b ) = cos a cos b – sin a sin b
sin 2 a = 2 sin a cos a
cos 2 a = cos 2 a – sin 2 a = 2 cos 2 a – 1 = 1 – 2 sin 2 a
Примеры интегрирования тангенса и котангенса
Пример 1. Найти интеграл от тангенса tan(4*x).
Вычисления: Применяем приведенную выше методику для интегрирования тангенса
Здесь в скобках мы сначала вычисляем дифференциал от косинуса, а дальше выделяем значение, которое нам нужно достать. Далее интегрирования сводим к логарифму.
Таким образом можем записать обобщенную формулу для интеграла tan(k*x)
Int(tan(k*x),x)=-1/k*(log(cos(x)).
По этой формуле интеграл от тангенса двойного угла равен логарифму косинуса двойного угла умноженному на -0,5 .
Для тангенса половины угла tan (phi / 2) интеграл равен -2 умножить на логарифм косинуса половины угла
По индукции получим формулу интеграла для тангенса одной третьей угла tan(phi/3)
Пример 2. Проинтегрировать котангенс двойного угла
Вычисления: По аналогии с формулами для тангенса мы могли бы выписать готовую формулу, но лучше выполнить промежуточные переходы чтобы Вы лучше поняли и заучили методику внесения под дифференциал
Таким образом, если имеем котангенс тройного угла то перед интегралом получим множителем 1/3
Интегралы от котангенса половины и трети угла будут иметь множителями перед логарифмом соответственно двойку и тройку
При нахождении первоначальной от тангенса и котангенса следует справа добавить постоянную
Зная данную методику, Вы знаете как найти интеграл от тангенса, аргумент которого содержит множителем произвольное число.
Вычисления определенных интегралов от тангенса и котангенса в данной статье рассматривать не будем. Если Вы вычисляли такие интегралы от простых функций то, зная синусы и косинусы углов найти определенный интеграл от тангенса или котангенса сможете без проблем.
Вычисление площадей отдельных трапеций
Теперь нужно найти площади трапеций за каждый промежуток времени. В столбце “E” будем вычислять по приведённой выше формуле площади трапеций. Полусумма оснований – это половина суммы двух последовательных мощностей дозы из столбца “D”. Так как данные идут с периодом 1 раз в минуту, а мы берём интеграл по времени, выраженному в минутах, то высота каждой трапеции будет равна единице (разница времени между каждыми двумя последовательными измерениями, например, 17ч31мин — 17ч30мин = 0ч1мин = 1мин).
Получаем формулу в ячейке “E3”: =1/2*(D3+D2)*1. Понятно, что “×1” в этой формуле можно не писать. И аналогично, с помощью маркера заполнения, распространяем формулу на весь столбец. Теперь в каждой ячейке столбца “Е” посчитана накопленная доза за 1 минуту полёта.
Вычисление площадей прямоугольных трапеций за каждый промежуток времени
Если бы данные шли не через 1 минуту, то нам нужно было бы написать формулу так:
=1/2*(D3+D2)*(МИНУТЫ(A3) – МИНУТЫ(A2)).
Правда при этом, если есть переход на следующий час, то получится отрицательное значение. Чтобы этого не произошло, впишем в формулу часы:
=1/2*(D3+D2)*(ЧАС(A3)*60+МИНУТЫ(A3)) – (ЧАС(A2)*60+МИНУТЫ(A2)).
Если переходим на следующие сутки, то нужно будет уже добавлять даты, и т.д.
Теория.
Подробно рассмотрим два наиболее точных метода численного интегрирования функции одной переменной – метод трапеций и метод парабол или метод Симпсона. Есть еще метод прямоугольников, но мы его проигнорируем из-за невысокой точности.
Все, что требуется для понимания и применения метода трапеций и метода Симпсона на практике представлено далее на рисунке.
Площадь под кривой y = f ( x ) разбиваем на n-1 криволинейных трапеций, у которых три стороны – это прямые линии, а одна сторона – участок кривой y =f ( x ). Суммарная площадь под графиком функции на участке от x1 до xn – это и есть искомая величина, которая является определенным интегралом функции на этом участке и находится как сумма площадей всех криволинейных трапеций.
Точно вычислить аналитически площадь криволинейной трапеции бывает сложно или даже невозможно.
Для приближенного вычисления площади криволинейной трапеции можно заменить участок кривой прямой линией и, получив простую фигуру – обычную трапецию, найти по известной формуле ее площадь. В этом суть метода трапеций.
Если участок кривой линии над двумя криволинейными трапециями заменить параболой, проведенной через три характерные точки, то получим новую криволинейную трапецию с одной из сторон в виде параболы. Количество новых фигур будет в два раза меньше, чем количество исходных трапеций. Площадь этих новых фигур вычисляется по простой формуле. В этом смысл метода Симпсона.
Идею замены участка любой кривой участком параболы высказывал Исаак Ньютон, но первым вывел формулу английский математик Томас Симпсон. Метод Симпсона для вычисления интегралов является самым точным из приближенных численных методов.
Если вычисление интегралов методом трапеций не имеет ограничений, то для того, чтобы реализовать метод Симпсона необходимо выполнить два условия.
1. Разбить площадь на четное количество частей, то есть n должно быть нечетным числом!
2. Расстояния между точками по оси x должны быть одинаковыми!
Стандартные подстановки при интегрировании тригонометрических функций
Здесь мы рассмотрим стандартные подстановки, с помощью которых, в большинстве случаев, выполняется интегрирование тригонометрических функций.
Применение знаний, формирование умений и навыков
Практическое задание «Вычисление определенных интегралов методом трапеции в среде Microsoft Excel.»
Состав задания:
- Ознакомиться с теоретической частью задания;
- Провести расчет для своего варианта индивидуального задания в Microsoft Excel
- Оформить презентацию в Ms PowerPoint, включающую:
– постановку задачи;
– алгоритм расчета;
– таблицу с расчетом из Ms Excel, график исходной функции;
– результат расчета и его анализ.
Индивидуальное расчетное задание:
- Найдите приближенное значение интеграла заданной функции f(x)= 1/(1+x 4 ) 1/2 на отрезке [0; 4]
по формуле трапеций, разбивая отрезок [0; 4] на 8 равных частей. Оцените погрешность приближенного вычисления интеграла при таком разбиении отрезка. - Представьте графически поставленную задачу.
Постановка задачи:
Найти: приближенное значение интеграла заданной функции по формуле трапеций, приняв предельное значение погрешности приближенного вычисления интеграла равным ε=0,02.
Таблица Исходная информация
Представление в Excel
Анализ заданной функции и результаты вычислений в Ms Excel
Расчет площади
xi
f(xi)
Коэффициенты формулы трапеций
Вычисление Ci*f(xi)
N=2
N=4
N=8
N=2
N=4
N=8
N=2
N=4
N=8
Ответ: приближенное значение интеграла заданной функции по формуле трапеций равна 1,60кв.мм, значение погрешности приближенного вычисления интеграла равным ε=0,008.
Задания для индивидуальной работы студентов по вариантам:
Найдите приближенное значение интеграла заданной функции f(x) на отрезке [a; b] (см. таблицу ) по формуле трапеций, разбивая отрезок [a; b] на 8 равных частей. Оцените погрешность приближенного вычисления интеграла при таком разбиении отрезка.
Представьте графически поставленную задачу.
отрезок [a; b]
Функция f(x)
(х 4 /(1+x 4 ) 1/2 ) 1/2
(х 5 /(1+x 4 ) 1/2 ) 1/2
На сегодняшнем занятии мы отработали навыки вычисления определенных интегралов методом трапеции в среде электронных таблиц MS Excel. Выработали умения применять теоретические знания в практических расчетах.
Распространенные примеры интегрирования косинуса
Пример 1. Найти интеграл от cos(5*x).
Решение: По формуле интегрируем косинус
Пример 2. Вычислить интеграл от cos(7*x).
Решение: Выполняем интегрирование
Пример 3. Проинтегрировать выражение cos (11*x).
Решение: Вычисляем неопределенный интеграл
Пример 4. Найти интеграл функции y= cos (x/5).
Решение: Записываем неопределенный интеграл
Пример 5. Найти интеграл функции y= cos (x/6) .
Решение: Проинтегрируем по приведенной выше формуле
Как только Вы освоите методику интегрирования на простых примерах, смело можете переходить к определенным интегралам и первообразным. Для отискания определенного интеграла проводим интегрирование, а дальше подставляем пределы интегрирования и находим изменение первообразной функции.
Пример 6. Проинтегрировать косинус двойного угла y = cos (2 * x) от 0 до 45 градусов.
Решение: Находим указанный интеграл от косинуса
Пример 7. Найти интеграл от косинуса y = cos (x) от 0 до 60 градусов.
Решение: Вычисляем интеграл и подставляем пределы интегрирования
Пример 8. Найти первоначальную от cos (x), которая при 30 градусах равна 1 .
Решение: Находим первоначальную
С наложенного условия на первоначальную вычисляем постоянную
sin(Pi/6)+C=1; C=1-
sin(Pi/6)=1-0,5=0,5.
Подставляем полученную постоянную в уравнение
На этом задача решена. На таких простых примерах Вы четко должны знать, чему равный интеграл от косинуса.
Далее полученные знания можно применять для вычисления площадей криволинейных трапеций. Это достаточно абстрактное понятие, но с помощью интегрирования находить площадь фигур достаточно просто и быстро. Следует только помнить, что площадь всегда принимает положительное значение, в то время как определенный интеграл может принимать отрицательное значение.
Например вычислим площадь и интеграл от косинуса, если переменная принадлежит интервалу от 0 до 2*Pi.
По физическому содержанию площадь равна заштрихованным поверхностям.
Находим определенный интеграл в указанных пределах
Он равен нулю. Что касается площади, то сначала следует найти точки пересечения с осью абсцисс на этом интервале
Таким образом площадь необходимо искать на трех промежутках
Ось абсцисс можем записать функцией y = 0 . Таким образом на первом промежутке площадь равна интегралу от косинуса,
на втором 0-cos (x) = – cos (x) от минус косинуса и на третьем от косинуса. Все при вычислении площади зависит от того, какая функция принимает большее значение по оси ординат (Oy) . Вычисляем площадь интегрированием в указаных пределах
Таким образом искомая площадь равна 4. Если иметь график функции перед глазами, то данное значение можно получить как 4 площади косинус функции, которые периодически повторяются
На этом знакомство с интегрированием косинуса завершается. Приведенная методика интегрирования позволяет вычислить 80% основных задач на интегрирование косинуса. Остальные 20% Вы научитесь после изучения способов нахождения интегралов от функций вида
Мы научим Вас, какие свертки и замены переменных следует использовать, в каких случаях целесообразно интегрировать по частям.
Интегралы от других тригонометрических и обратных к ним функций Вы найдете в категории “ Интегрирование функций “.
Интегрирование обратных тригонометрических функций
Интегралы, содержащие обратные тригонометрические функции
arcsin φ , arctg φ , и т.д., где φ – некоторая алгебраическая функция от x , нередко интегрируются по частям, полагая u = arcsin φ , u = arctg φ , и т.д.
Общий подход
Вначале, если это необходимо, подынтегральное выражение нужно преобразовать, чтобы тригонометрические функции зависели от одного аргумента, который совпадал бы с переменной интегрирования.
Например, если подынтегральное выражение зависит от sin( x+a ) и cos( x+b ) , то следует выполнить преобразование:
cos ( x+b ) = cos ( x+a – ( a–b ) ) = cos ( x+a ) cos ( b–a ) + sin ( x+a ) sin ( b–a ) .
После чего сделать замену z = x+a . В результате, тригонометрические функции будут зависеть только от переменной интегрирования z .
Когда тригонометрические функции зависят от одного аргумента, совпадающим с переменной интегрирования (допустим это z ), то есть подынтегральное выражение состоит только из функций типа sin z , cos z , tg z , ctg z , то нужно сделать подстановку
.
Такая подстановка приводит к интегрированию рациональных или иррациональных функций (если есть корни) и позволяет вычислить интеграл, если он интегрируется в элементарных функциях.
Однако, часто можно найти другие методы, которые позволяют вычислить интеграл более коротким способом, основываясь на специфике подынтегрального выражения. Ниже дано изложение основных таких методов.
Методика вычисленияопределённого интеграла
Вычислять интеграл мы будем самым простым, но довольно точным методом – методом трапеций. Напомню, площадь фигуры под графиком любой кривой можно разделить на прямоугольные трапеции. Сумма площадей этих трапеций и будет искомым значением определённого интеграла.
Площадь трапеции определяется как полусумма оснований, умноженная на высоту: Sтрап = (A + B) / 2 × h Основания в нашем случае – это табличные измеренные значения мощности дозы за 2 последовательных промежутка времени, а высота – это разница времени между двумя измерениями.
Метод трапеций для вычисления значения определённого интеграла
Интегрирование выражений вида R(sinx, cosx)
Пример №1 . Вычислить интегралы: 
Решение.
а) Интегрирование выражений вида R(sinx, cosx) , где R — рациональная функция от sin x и cos x , преобразуются в интегралы от рациональных функций с помощью универсальной тригонометрической подстановки tg(x/2) = t .
Тогда имеем
Универсальная тригонометрическая подстановка дает возможность перейти от интеграла вида ∫ R(sinx, cosx) dx к интегралу от дробно-рациональной функции, но часто такая замена ведет к громоздким выражениям. При определенных условиях эффективными оказываются более простые подстановки:
- Если выполняется равенство R(-sin x, cos x) = -R(sin x, cos x)dx , то применяется подстановка cos x = t .
- Если выполняется равенство R(sin x, -cos x) = -R(sin x, cos x)dx , то подстановка sin x = t .
- Если выполняется равенство R(-sin x, -cos x) = R(sin x, cos x)dx , то подстановка tgx = t или ctg x = t .
В данном случае для нахождения интеграла 
применим универсальную тригонометрическую подстановку tg(x/2) = t .
Тогда
Так как дробь неправильная, то, выделяя целую часть, получим
Возвращась к исходной переменной будем иметь
b) Во втором примере рассмотрим важный частный случай, когда общее выражение ∫ R(sinx, cosx) dx имеет вид ∫ sin m x·cos n xdx . В этом частном случае, если m нечетно, следует применить подстановку cos x = t . Если нечетно n , следует применить подстановку sin x = t . Если оба показателя тип — четные неотрицательные числа (в частности, одно из них может быть равным нулю), то выполняют замену по известным тригонометрическим формулам: 
В данном случае
Вычисление определенных интегралов методом трапеции в среде Microsoft Excel
Цель урока: Совершенствование умений и навыков по теме «Численное интегрирование», применяя возможности MS Excel по вычисление определенных интегралов методом трапеции. Отработать практическое освоение соответствующих умений и навыков.
Задачи урока:
- Образовательные – совершенствование умений студентов при вычисление определенных интегралов методом трапеции в среде электронных таблиц MS Excel. Выработать умение применять теоретические знания в практических расчетах;
- Развивающие – познакомить студентов с применением компьютеров в качестве помощников при решении уравнений. Развивать у студентов математическую речь: создать ситуацию для применения основных понятий в речи; творческого мышления через создание условий для самореализации творческого потенциала обучающихся;
- Воспитательные – выработать у студентов умение рационально использовать время и возможности компьютерных технологий при решении задач. Воспитывать интерес к предмету через ситуацию успеха и взаимодоверия.
Тип урока: комбинированный урок.
Вид урока: практическое занятие, продолжительность – 2 часа.
Оборудование урока:
- Компьютеры с OS MS Windows;
- Программа Microsoft Excel;
- Презентация по теме, выполненная в программе PowerPoint;
- Карточки с заданиями для самостоятельной работы.
Структура урока:
1.Актуализация знаний:
1.1. Мобилизующее начало, постановка целей и задач на урок;
1.2.Фронтальный опрос с целью выявления основных этапов решения задач интегрирования и методики решения;
1.3. Постановка задачи с целью повторения алгоритма вычисления определенных интегралов методом трапеции;
1.4.Подведение итогов 1 этапа урока.
2.Применение знаний, формирование умений и навыков:
2.1.Беседа с целью формулировки задания для самостоятельной работы и инструктажа по ее организации;
2.2.Самостоятельная работа в группах по выполнению задания вычисления определенных интегралов методом трапеции в среде Microsoft Excel.
2.3.Подведение итога урока.
В данном уроке особое внимание уделено визуальному представлению информации – в ходе урока с помощью проектора демонстрируются слайды, подготовленные в пакете презентационной графики Microsoft PowerPoint.
ХОД УРОКА
1. Актуализация знаний
1.1. Мобилизующее начало, постановка целей и задач на урок.
На прошлых уроках мы с Вами изучили приближенное вычисление определенных интегралов, выделили методы их решения и решали данные интегралы ручным счетом. А на сегодняшнем занятии мы будем совершенствовать умения и навыки при вычислении определенных интегралов методом трапеции в среде Microsoft Excel.
— В чем заключается вычисление интеграла?
— Важным средством вычисления определенных интегралов является формула Ньютона-Лейбница 
. Ее применение на практике связано с существенными трудностями, возникающими при нахождении первообразной в случае подынтегральной функции. Поэтому применяют численные методы, позволяющие найти приближенное значение исходного интеграла с заданной точностью.
— Общий подход к ее решению состоит в том, чтобы аппроксимировать функцию 
какой-либо другой функцией 
, для которой интеграл вычисляется аналитически.
— Тогда для решения задачи строим 
с оценкой погрешности 
, и приближенно 
с очевидной оценкой погрешности 
.
— Введем на отрезке 
сетку 
, 
, где 
, и таблицу значений 
, 
.
— Рассмотрим простой вариант построения функции 
, приводящий к формуле трапеций.
— При этом функция 
строится как кусочно-линейная интерполяция значений 
, 
на равномерной сетке с шагом 
.
=
.
— Формулы такого рода (
) называют механическими квадратурами, 
– коэффициентами (весами) квадратуры, 
– ее узлами.
Точность формулы трапеций зависит от гладкости функции 
. Если она на 
имеет первую производную, ограниченную числом 
, то 
, и погрешность формулы трапеций не превосходит 
. Если 
на 
имеет вторую производную, ограниченную числом 
, то погрешность формулы итераций не превосходит 
, поскольку 
.
Теоретические оценки погрешностей не всегда применяются. Если требуется вычислить интеграл с погрешностью 
, то мало кто сначала оценит третью производную функции 
и вычислит шаг сетки 
. Эта оценка и значение константы 
завышены. Кроме того, само вычисление 
может быть трудным, особенно если 
задана некоторым сложным образом.
Поэтому, вычисляя интеграл с небольшим числом узлов 
, получают его значение 
; вычисляя интеграл с удвоенным 
, получают 
. Если модуль 
(где ε – предельное допустимое значение погрешности расчета), то задачу считают решенной. В противном случае вычисляют 
и т.д. Для гладких функций 
часто интеграл вычисляется очень точно при малом числе узлов.
— Объясните алгоритм вычисления интеграла различными методами?
2. Применение знаний, формирование умений и навыков
Практическое задание «Вычисление определенных интегралов методом трапеции в среде Microsoft Excel.»
Состав задания:
- Ознакомиться с теоретической частью задания;
- Провести расчет для своего варианта индивидуального задания в Microsoft Excel
- Оформить презентацию в Ms PowerPoint, включающую:
— постановку задачи;
— алгоритм расчета;
— таблицу с расчетом из Ms Excel, график исходной функции;
— результат расчета и его анализ.
Индивидуальное расчетное задание:
- Найдите приближенное значение интеграла заданной функции f(x)= 1/(1+x 4 ) 1/2 на отрезке [0; 4]
по формуле трапеций, разбивая отрезок [0; 4] на 8 равных частей. Оцените погрешность приближенного вычисления интеграла при таком разбиении отрезка. - Представьте графически поставленную задачу.
Постановка задачи:
Найти: приближенное значение интеграла заданной функции по формуле трапеций, приняв предельное значение погрешности приближенного вычисления интеграла равным ε=0,02.
30 сентября 2015
Давайте разберёмся, как вычислить определённый интеграл таблично заданной функции с помощью программы Excel из состава Microsoft Office.
Вам понадобится
- — компьютер с установленным приложением MS Excel;
- — таблично заданная функция.
Инструкция
Допустим, у нас есть таблично заданная некоторая величина. Для примера пусть это будет накопленная доза радиации при авиаперелёте. Скажем, был такой эксперимент: человек с дозиметром летел на самолёте из пункта А в пункт Б и периодически измерял дозиметром мощность дозы (измеряется в микрозивертах в час). Вас, возможно, это удивит, но при обычном перелёте на самолёте человек получает дозу радиации в 10 раз больше, чем фоновый уровень. Но воздействие это кратковременное и поэтому не опасное. По результатам измерений у нас есть таблица вот такого формата: Время — Мощность дозы.
Суть метода в том, что определённый интеграл — это площадь под графиком нужной нам величины. В нашем примере, если полёт длился почти 2 часа, с 17:30 до 19:27 (см. рисунок), то чтобы найти накопленную дозу, нужно определить площадь фигуры под графиком мощности дозы — графиком таблично заданной величины.
Вычислять интеграл мы будем самым простым, но довольно точным методом — методом трапеций. Напомню, каждую кривую можно разделить на трапеции. Сумма площадей этих трапеций и будет искомым интегралом.
Площадь трапеции определяется просто: полусумма оснований, умноженная на высоту. Основания в нашем случае — это табличные измеренные значения мощности дозы за 2 последовательных промежутка времени, а высота — это разница времени между двумя измерениями.
В нашем примере измерения мощности дозы радиации даётся в мкЗв/час. Переведём это в мкЗв/мин, т.к. данные даются с периодичностью 1 раз в минуту. Это нужно для согласования единиц измерения. Мы не можем брать интеграл по времени, измеряемому в минутах, от величины, измеряемой в часах.
Для перевода просто разделим мощность дозы в мкЗв/час построчно на 60. Добавим ещё один столбец в нашу таблицу. На иллюстрации в столбце «D» в строке 2 вписываем «=С2/60». А потом с помощью маркера заполнения (тянем мышью чёрный прямоугольник в правом нижнем углу ячейки) распространяем эту формулу на все остальные ячейки в столбце «D».
Теперь нужно найти площади трапеций за каждый промежуток времени. В столбце «E» будем вычислять по приведённой выше формуле площади трапеций.
Полусумма оснований — это половина суммы двух последовательных мощностей дозы из столбца «D». Так как данные идут с периодом 1 раз в минуту, а мы берём интеграл по времени, выраженному в минутах, то высота каждой трапеции будет равна единице (разница времени между каждыми двумя последовательными измерениями, например, 17ч31м — 17ч30м = 0ч1м).
Получаем формулу в ячейке «E3»: «=1/2*(D2+D3)*1». Понятно, что «*1» можно не писать, я сделал это просто для полноты картины. Рисунок поясняет всё более наглядно.
Аналогично, с помощью маркера заполнения, распространяем формулу на весь столбец. Теперь в каждой ячейке столбца «Е» посчитана накопленная доза за 1 минуту полёта.
Осталось найти сумму вычисленных площадей трапеций. Можно в ячейке «F2» написать формулу «=СУММ(E:E)», это и будет искомым интегралом — сумма всех значений в столбце «E».
Можно сделать немного сложнее, чтобы определить накопленную дозу в разные моменты полёта. Для этого в ячейке «F4» впишем формулу: «=СУММ(E$3:E4)» и маркером заполнения распространим на весь столбец «F». Обозначение «E$3» говорит программе Excel, что менять индекс первой ячейки, от которой ведём счёт, не нужно.
Построим график по столбцам «F» и «A», т.е. изменение накопленной дозы радиации во времени. Наглядно видно увеличение интеграла, как и должно быть, и окончательное значение накопленной за двухчасовой полёт дозы радиации равно примерно 4,5 микрозиверт.
Таким образом, мы только что нашли определённый интеграл таблично заданной функции в программе Excel на реальном физическом примере.
Давайте разберёмся, как вычислить определённый интеграл таблично заданной функции с помощью программы Excel из состава Microsoft Office.
1Постановка физической задачина расчёт определённого интеграла
Допустим, у нас есть таблично заданная некоторая величина. Для примера пусть это будет накопленная доза радиации при авиаперелёте. Скажем, был такой эксперимент: человек с дозиметром летел на самолёте из пункта А в пункт Б и периодически измерял дозиметром мощность дозы (единицы измерений – микрозиверт в час, мкЗв/ч). Возможно, Вас это удивит, но при обычном перелёте на самолёте человек попадает под радиоактивное излучение, превышающее фоновый уровень до 10 раз и даже больше. Но воздействие это кратковременное, и поэтому не столь опасное. По результатам измерений у нас есть таблица вот такого формата: Время – Мощность дозы.
Необходимо посчитать суммарную накопленную за время полёта дозу.
2Геометрический смыслопределённого интеграла
Как мы помним из курса школьной алгебры, определённый интеграл – это площадь под графиком измеряемой величины. Чтобы определить накопленную дозу радиации в рассматриваемом примере, нужно определить площадь фигуры под графиком таблично заданной мощности дозы. Накопленная доза радиации равна площади фигуры под графиком мощности дозы
3Методика вычисленияопределённого интеграла
Вычислять интеграл мы будем самым простым, но довольно точным методом – методом трапеций. Напомню, площадь фигуры под графиком любой кривой можно разделить на прямоугольные трапеции. Сумма площадей этих трапеций и будет искомым значением определённого интеграла.
Площадь трапеции определяется как полусумма оснований, умноженная на высоту: Sтрап = (A + B) / 2 × h Основания в нашем случае – это табличные измеренные значения мощности дозы за 2 последовательных промежутка времени, а высота – это разница времени между двумя измерениями.
4Согласованиеединиц измерения
В нашем примере измерения мощности дозы радиации даётся в мкЗв/час, а шкала времени – с точностью до минут. Мы не можем брать интеграл по времени, измеряемому в минутах, для величины, измеряемой в часах. Поэтому необходимо перевести мкЗв/час в мкЗв/мин.
Для перевода просто разделим мощность дозы в мкЗв/час построчно на количество минут в часе, т.е. на 60. Добавим ещё один столбец в нашу таблицу. На иллюстрации это столбец «D». В столбце «D» в строке 2 вписываем =С2/60 А потом с помощью маркера заполнения распространяем эту формулу на все остальные ячейки в столбце «D», (т.е. тянем мышью чёрный прямоугольник в правом нижнем углу ячейки). Таким образом, в столбце «D» у нас появятся значения мощности дозы радиации, измеряемые в микрозивертах в минуту для каждой минуты перелёта.
5Вычисление площадей отдельных трапеций
Теперь нужно найти площади трапеций за каждый промежуток времени. В столбце «E» будем вычислять по приведённой выше формуле площади трапеций.
Полусумма оснований – это половина суммы двух последовательных мощностей дозы из столбца «D». Так как данные идут с периодом 1 раз в минуту, а мы берём интеграл по времени, выраженному в минутах, то высота каждой трапеции будет равна единице (разница времени между каждыми двумя последовательными измерениями, например, 17ч31мин — 17ч30мин = 0ч1мин = 1мин).
Получаем формулу в ячейке «E3»: =1/2*(D3+D2)*1. Понятно, что «×1» в этой формуле можно не писать. И аналогично, с помощью маркера заполнения, распространяем формулу на весь столбец. Теперь в каждой ячейке столбца «Е» посчитана накопленная доза за 1 минуту полёта.
Если бы данные шли не через 1 минуту, то нам нужно было бы написать формулу так:
=1/2*(D3+D2)*(МИНУТЫ(A3) – МИНУТЫ(A2)).
Правда при этом, если есть переход на следующий час, то получится отрицательное значение. Чтобы этого не произошло, впишем в формулу часы:
=1/2*(D3+D2)*(ЧАС(A3)*60+МИНУТЫ(A3)) – (ЧАС(A2)*60+МИНУТЫ(A2)).
Если переходим на следующие сутки, то нужно будет уже добавлять даты, и т.д.
5Определение площадипод графиком функции
Осталось найти сумму вычисленных площадей трапеций. Можно в ячейке «F2» написать формулу: =СУММ(E:E) Это и будет сумма всех значений в столбце «E», т.е. численное значение искомого определённого интеграла. Но давайте сделаем вот что: определим накопленную дозу в разные моменты полёта. Для этого в ячейку «F4» впишем формулу =СУММ(E$3:E4) и маркером заполнения распространим на весь столбец «F».
Обозначение E$3 говорит программе Excel, что увеличивать индекс ячейки «3» в столбце «E» при переносе формулы на следующие строки не нужно. Т.е. в строке 4 формула будет определять сумму в ячейках с «Е3» по «Е4», в строке 5 – сумму с «Е3» по «Е5», в строке 6 – с «Е3» по «Е6» и т.д.
Построим график по столбцам «F» и «A». Это график изменения накопленной дозы радиации во времени. Наглядно видно монотонное увеличение накопленной дозы радиации за время полёта. Это говорит о том, что мы правильно рассчитали интеграл. И окончательное значение накопленной за двухчасовой полёт дозы радиации, которое получается в последней ячейке этого столбца, равно примерно 4,5 микрозиверт.
Таким образом, мы только что нашли определённый интеграл таблично заданной функции в программе Excel на реальном физическом примере. В качестве приложения к статье – файл Excel с нашим примером.
Опубликовано 10 Авг 2015
Рубрика: Справочник Excel | 13 комментариев
При стремлении постичь нечто сложное, громоздкое, непонятное следует «разбить» его на как можно большее количество простых, мелких, понятных частей, изучить их с помощью существующих инструментов, а затем «сложить» эти результаты и получить итоговый ответ.
Формулировка в предыдущем предложении определяет сущность понятия интегрирования.
Интеграл чего-либо – это сумма всех малых частей этого чего-либо. Чем больше количество этих малых частей, тем точнее значение интеграла соответствует действительности, определяя признак изучаемого объекта.
Интегрирование применимо для изучения свойств физических и философских объектов при условии, что эти свойства остаются неизменными как для «мелкой» части, так и для всего объекта в целом.
Функция – это описание зависимости некоторого признака или свойства объекта от аргумента.
Например:
Объект – плоская фигура между графиком функции и осью абсцисс.
Признак (значение функции) – высота фигуры.
Аргумент (независимая переменная) – ширина фигуры.
Функция – описание зависимости высоты от ширины.
Определенный интеграл функции – площадь фигуры. Площадь тоже является признаком фигуры, но зависит от двух переменных – высоты и ширины – и представляет собой качественно иной новый признак.
Теория.
Подробно рассмотрим два наиболее точных метода численного интегрирования функции одной переменной – метод трапеций и метод парабол или метод Симпсона. Есть еще метод прямоугольников, но мы его проигнорируем из-за невысокой точности.
Все, что требуется для понимания и применения метода трапеций и метода Симпсона на практике представлено далее на рисунке.
Площадь под кривой y = f (x) разбиваем на n-1 криволинейных трапеций, у которых три стороны – это прямые линии, а одна сторона – участок кривой y=f (x). Суммарная площадь под графиком функции на участке от x1 до xn – это и есть искомая величина, которая является определенным интегралом функции на этом участке и находится как сумма площадей всех криволинейных трапеций.
Точно вычислить аналитически площадь криволинейной трапеции бывает сложно или даже невозможно.
Для приближенного вычисления площади криволинейной трапеции можно заменить участок кривой прямой линией и, получив простую фигуру – обычную трапецию, найти по известной формуле ее площадь. В этом суть метода трапеций.
Если участок кривой линии над двумя криволинейными трапециями заменить параболой, проведенной через три характерные точки, то получим новую криволинейную трапецию с одной из сторон в виде параболы. Количество новых фигур будет в два раза меньше, чем количество исходных трапеций. Площадь этих новых фигур вычисляется по простой формуле. В этом смысл метода Симпсона.
Идею замены участка любой кривой участком параболы высказывал Исаак Ньютон, но первым вывел формулу английский математик Томас Симпсон. Метод Симпсона для вычисления интегралов является самым точным из приближенных численных методов.
Если вычисление интегралов методом трапеций не имеет ограничений, то для того, чтобы реализовать метод Симпсона необходимо выполнить два условия.
1. Разбить площадь на четное количество частей, то есть n должно быть нечетным числом!
2. Расстояния между точками по оси x должны быть одинаковыми!
Практика вычисления интегралов в Excel.
Определенной сложностью является связать вычисление интегралов с реальными задачами из жизни. Рассмотрение примеров – лучший способ устранения подобных препятствий.
Определение тепловой энергии.
Мой знакомый из города Улан-Удэ Алексей Пыкин проводит испытания воздушных солнечных PCM-коллекторов производства КНР. Воздух из помещения подается вентилятором в коллекторы, нагревается от солнца и поступает назад в помещение. Каждую минуту измеряется и записывается температура воздуха на входе в коллекторы и на выходе при постоянном воздушном потоке. Требуется определить количество тепловой энергии полученной в течение суток.
Более подробно о преобразовании солнечной энергии в тепловую и электрическую и об экспериментах Алексея я постараюсь рассказать в отдельной статье.
Многим, я думаю, это будет интересно.
Запускаем MS Excel и начинаем работу – выполняем вычисление интеграла.
Заполним таблицу.
1. В столбец B вписываем время проведения измерения τi.
2. В столбец C заносим температуры нагретого воздуха t2i, измеренные на выходе из коллекторов в градусах Цельсия.
3. В столбец D записываем температуры холодного воздуха t1i, поступающего на вход коллекторов.
4. В столбце E вычисляем разности температур dti на выходе и входе
dti=t2i-t1i
5. Зная удельную теплоемкость воздуха c=1005 Дж/(кг*К) и его постоянный массовый расход (измеренная производительность вентилятора) G=0,02031 кг/с, определяем мощность установки Niв КВт в каждый из моментов времени в столбце F
Ni=c*G*dti
На графике ниже показана экспериментальная кривая зависимости мощности, развиваемой коллекторами, от времени.
Количество тепловой энергии, выработанной за промежуток времени – это интеграл этой функции, и значение интеграла – это заштрихованная площадь под кривой.
6. Вычисляем в ячейках столбца G площади трапеций, суммируем их и находим общее количество энергии, выработанной за день
Qi=(Ni+1+Ni)*(τi+1-τi)/2
Q=ΣQi=10,395 КВт*час
7. Рассчитываем в ячейках столбца H элементарные площади по методу парабол, суммируем их и находим общее количество энергии по методу Симпсона
Qj=(Ni+4*Ni+1+Ni+2)*(τi+1-τi)/3
Q=ΣQj=10,395 КВт*час
Как видим, значения не отличаются друг от друга. Оба метода демонстрируют одинаковые результаты!
Исходная таблица содержит 421 строку. Давайте уменьшим её в 30 раз и оставим всего 15 строк, увеличив тем самым интервалы между замерами с 1 минуты до 30 минут.
По методу трапеций: Q=10,220 КВт*час (-1,684%)
По методу Симпсона: Q=10,309 КВт*час (-0,827%)
Не смотря на оставшуюся неожиданно весьма высокую точность полученных результатов, метод трапеций дает в данном случае относительную ошибку в 2 раза большую, чем метод Симпсона.
Общие выводы.
Вычисление интегралов численными методами в Excel позволяет эффективно и быстро решать сложные практические задачи, обеспечивая очень высокую точность результатов.
Так как мы существуем в пространстве и времени, то и всё окружающее нас изменяется или в пространстве или во времени. Это означает, что аргументом x функций y интересующих нас процессов или объектов чаще всего являются длина или время. Например, пройденный путь – это интеграл функции скорости (аргумент – время), площадь плотины – это интеграл функции высоты (аргумент – длина), и т.д.
Понимание сути интегрального исчисления и умение использовать его на практике вооружает вас, как специалиста, мощным оружием в осознанном изучении окружающего мира!
Ссылка на скачивание файла с примером: vychisleniye-integralov (xls 216,0KB).
Другие статьи автора блога
На главную
Статьи с близкой тематикой
Отзывы
Интегрирование в MS EXCEL. Метод трапеций
history 20 ноября 2022 г.
- Группы статей
file_download Файл примера
Вычислим в MS EXCEL определенный интеграл методом трапеций (англ. Trapezoidal Rule). Оценим ошибку интегрирования, построим график функции.
В интернете есть много сайтов по автоматическому вычислению интегралов аналитическими и численными методами. Но, как правило, про использованный метод численного интегрирования ничего не говорится, а корректность вычислений проверить невозможно. В данном примере все вычисления прозрачны и можно задать необходимое количество интервалов разбиения. Правда, данный метод имеет относительно невысокую точность по сравнению с другими методами (если сравнивать его с методом Симпсона и методом интерполяционного полинома Лагранжа).
Так как функция, стоящая под знаком интеграла в общем случае может быть любая, то значение интеграла не всегда можно вычислить аналитически.
Однако, можно воспользоваться тем фактом, что согласно теории, значение интеграла численно равно площади фигуры образованной графиком функции и осью Х (фигура выделена цветом).
Таким образом, задача нахождения интеграла сводится к нахождению площади этой фигуры. Площадь фигуры в общем случае можно найти численными методами, разбивая ее на простые однотипные фигуры, например трапеции. Т.к. площадь каждой трапеции найти легко, то простым суммированием площадей можно найти и интеграл. Платой за универсальность является ошибка интегрирования, которую впрочем можно оценить (будет показано далее).
Фактически метод трапеций основан на линейной интерполяции, т.е. график функции y = f(x) представляется в виде ломаной, соединяющей точки (xi, yi) прямыми линиями.
Площадь каждой трапеции можно найти следующим образом (см. рисунок ниже).
Фактически задача по нахождению интеграла сводится в основном к построению таблицы значений функции y=f(x) для заданных Х и нахождению их суммы._m.jpg)
2+6*B19+1.
Вычисленное приближенное значение интеграла для данной функции в интервале [0;4] равно 9,340, а точное 9,333, т.е. ошибка составляет менее 0,1%. Ниже показано как ее оценить.
В файле примера на листе «настраиваемый интервал» сделана форма для работы с разными количествами интервалов разбиения. При изменении количества интервалов график перестраивается автоматически, формулы для вычисления интеграла не нужно переписывать (как, впрочем, и расширять/ убавлять таблицу значений).
На рисунке ниже показано откуда появляется ошибка интегрирования. Для первых 2-х трапеций (образованы красными линиями) площадь меньше чем у истинной функции (синяя линия). Для следующих 2-х — площадь больше. Из этого следует, что метод трапеций хорошо работает для осциллирующих функций, когда ошибки компенсируют друг друга.
Простой многочлен был выбран в качестве демонстрационной функции, чтобы можно было вычислить интеграл точно и потом найти истинную ошибку, чтобы иметь возможность сравнить ее с оценкой.
К сожалению, для нахождения оценки ошибки потребуется вычислить первую производную. Сделать это чаще всего не сложно, но автоматизировать это в EXCEL не получится. Поэтому при изменении подинтегральной функции приходится вносить изменения в несколько формул на листе, а точнее — в 2 ячейки С19 и G31 (в файле примера они выделены красным). После ввода формул их нужно скопировать вниз.
В наем случае полученная оценка ошибки совпала с истинной ошибкой, что говорит о том что мы не ошиблись при вычислении производной и вводе формул на лист.
Совет: всегда оценивайте ошибку интегрирования.
Функция интеграции с Excel
Функция интеграции с Excel
Синтаксис
Свернуть все
Описание
Используйте QUADF для вычисления правильного или неправильного интеграла.
с использованием высокоточных адаптивных алгоритмов.
С необязательными аргументами вы можете переопределить алгоритм интегрирования по умолчанию, а также указать особые точки для подынтегральной функции f(x) , если применимо.
∫abfx⋅dx
QUADF может быть вложен для вычисления нескольких интегралов любого порядка.
∫ab∫ly(x)uy(x)∫lz(x,y)uz(x,y)fx,y,z dzdydx
Входы
Требуемые входные данные
f ссылка на формулу под интегралом.
Если подынтегральная функция слишком сложна для представления формулами, вы можете закодировать ее в функции VBA (см. пример 6).
x ссылка на переменную интегрирования.
a нижний предел интеграла.
b верхний предел интеграла.
Для ввода бесконечных пределов используйте строку «INF» или «-INF» (без учета регистра).
Дополнительные входы
ctrl набор пар ключ/значение для алгоритмического управления, как описано ниже.
Описание пар ключ/значение для алгоритмического управления
Выбор алгоритма интегрирования
| Key | ALGOR |
| Admissible Values (String) | QNG,QAG,QAGS,QK15,QK21,QK31,QK41,QK51,QK61 |
| Default Value | QAG |
| Remarks |
|
Абсолютные и относительные допуски погрешности
| Ключи | ATOL, RTOL |
| Допустимых значений (Реал) | > = 0 |
| По умолчанию | ATOL = 1. 0E-7, RTOL = 1,062 |
|
3 3 3 3
Верхний предел количества разделов интервала интегрирования
| Ключ | MAXDIV | |||||||||||||||||||||||
| Допустимых значений (Integer) | > = 1 | |||||||||||||||||||||||
| DEFAUT
Правило интегрирования Гаусса-Кронрода
9001
⇒
Примечание для пользователей ExceLab 365. Определите любое ненулевое значение для пустого X1 , чтобы разрешить начальный #DIV/0! ошибка в A1 или Excel не будет выполнять зависимую формулу в A2 .
Пример 2: Интегрирование функции с делением на ноль
∫01lnxx⋅dx=-4 Решение
⇒ Примечание для пользователей ExceLab 365.
Пример 3: Интегрирование функции с известными особенностями
∫01|x-17|-17⋅|x-23|-1120⋅dx Раствор
Подынтегральная функция в этом примере имеет две особенности при |
=1/7 | |||||||||||||||||||||||
| 6 | =QUADF(A5,X1,0,1,B5:B6) | =11/20 |
Не требуется для надстройки ExceLab 7 или Google Таблиц 
Определите любое положительное значение для пустого X1 , чтобы разрешить начальное значение #ЧИСЛО! ошибка в A3 или Excel не будет выполнять зависимую формулу в A4 . Не требуется для надстройки ExceLab 7 или Google Таблиц 0 40 5090 0 4 0 5 9 0 0 9 0 0 0 5
| A | |
| 5 | 2,032940662 |
| 6 | 4,253687688 |
9 4.
253687688
7687688
4. точность округления 1/7. 92) 8 =QUADF(A7,X1,0,»inf»)
⇒
| А | ||||||||||||||||||||
| 7 | 1 | |||||||||||||||||||
| 8 | 1.570796327
3
Пример 5: Несобственный интеграл с двумя бесконечными пределами
∫-∞∞e-x2⋅dx=π Решение
⇒
|
Мы передаем переменную интегрирования и любые другие параметры.
Он использует правило Гаусса-Кронрода с 21 точкой. 
Писсенс, Э. де Донкер-Капенга, К.В. Юберхубер, Д.К. Каханер. QUADPACK Пакет подпрограмм для автоматической интеграции. Springer Verlag, 1983. 
Решается несколько примеров, включая фиксированные пределы, бесконечные пределы и особые точки. Видео также демонстрирует, как вложить QUADF для вычисления нескольких интегралов любого порядка.
Помогаю со студенческими работами здесь
Вычисление определенного интеграла методом центральных прямоугольников, и методом трапеции
Здравствуйте, помогите написать прогу для вычисление определенного интеграла методом трапеций и…
Решение определенного интеграла методом трапеций и левых прямоугольников
Привет,помогите пожалуйста с курсачем разобраться.Нужно разработать программу, вычисляющую…
Найти значение интеграла методом трапеций и правых (можно любых) прямоугольников
Ничего не получается у меня. Помогите пожалуйста.
Есть массив y = (-0.5, 0.25, 0.4, 0.5, 0.4, 1,…
Вычисление интеграла и методом трапеций.
Program p;
var a,b,x,h,n,s:real; v:integer;
function f(x:real):real;
begin…
Искать еще темы с ответами
Или воспользуйтесь поиском по форуму:
2
Integral is one of the most important tools in mathematics. It can be used to calculate area, volume, and many other useful parameters. In this blog, we are going to discuss the methods of calculating integrals in Excel.
Table of Contents
- The Concept of Integral
- Methods of Calculating Integral
- Trapezoidal Method for Calculating Integral
- The Simpson Method for Calculating Integral
- Bottom Line
The Concept of Integral
In calculus mathematics, there are two main operations: integration and differentiation. Integral is the inverse operation of differentiation. Integration is a way of adding slices to find the whole. Its most common use is the calculation of the area under a curve.
There are two types of integrals: definite and indefinite integrals. In an indefinite integral, you must have the function F formula to calculate its integral, which gives F when it’s differentiated. If you want to calculate Integrals with Excel, forget indefinite integral because it’s a matter of analytical calculation.
Definite integral relates to numerical values. It is used in applied mathematics, statistics, science, and many more. It can be calculated using indefinite integral and numerical methods.
Methods of Calculating Integral
When it comes to integration, you may face two situations: you have an equation to integrate or a corresponding x and y values. As we discussed earlier, Excel can not integrate using analytical methods. So, in any case, you will have to turn the equation into numbers.
Based on numerical mathematics, we can calculate an integral via two methods derived based on the calculation of the area of geometric shapes.
Trapezoidal Method for Calculating Integral
This method assumes that the area under a curve consists of several trapezoids. The area of a trapezoid can be calculated using the formula below:
Now, all we have to do is add up the area of these trapezoids to calculate the integral.
Assume that we have a dataset of (x,y) related to each other with the F function.
y=F(x)
F can be any function. To calculate the integral by this method, we add up the area under the curve between all consecutive points.
Example: calculating integral of a function
We are asked to calculate the integral below:
Follow the steps below:
- Set the dx value, which is the height of the trapezoids. Let’s call it “h.” and set it 0.1 in this example.
- Set x values from 0 to 2 with a step of the desired “h.”
- Calculate y values using the function formula.
- Type “=0.1/2*(B3+B2)” in cell C3 and press Enter. Then click on the little box in the bottom right corner of the cell and drag it to the last point (cell C22).
- Now, add up the area value of all trapezoids using the SUM function.
Note: The lower the dx, the more accurate will be the result.
Example: Calculating the area under a curve when the function is not available.
In this example, we want to calculate the area under a curve. As we discussed earlier, integration is the way.
Here, the ∆x is not constant. So we can not set a dx; instead, we use the difference between two consecutive x values as the height of the trapezoid. Now, let’s calculate the integral by following the steps below:
- Type “0.5*(B3+B2)*(A3-A2)” in cell C34 and press Enter.
- Click on the little box in the bottom right corner of the cell and drag it to cell C, which is the cell containing the end point.
- Calculate the sum of the totals in Column C.
The Simpson Method for Calculating Integral
The Simpson method assumes that the area under the curve is formed by adding several parabolas. Before using this method, you have to make sure that you have an odd number of data points. It may be useful to mention that the Simpson method is more accurate than the trapezoid method for calculating the integral.
If the function that relates y to x is y=f(x), the formula for calculation of the integral is as below:
This formula gives the area for three consecutive points as a single parabola. To calculate an integral, we have to sum the area under the curve for all the parabolas. So, the resulting formula would be:
Now, let’s use it to calculate an integral.
Example: We want to calculate the following integral.
Follow these steps:
- First, we have to turn the function to numbers and set the dx (or h). If you have an x and y values dataset, check if the difference between x values is constant. If it’s not, you can calculate the average of ∆xs as “h.”
- We have to set the multipliers for each y value. The first and the last ones are 1. Type 4 in the cell C2 and 2 in the cell C3.
- Enter “=C2” in the cell C4 and “=C3” in the cell C5. You can select these cells by clicking, too. Then drag these two entries down to the second last point.
- In cell D2, type “=B2*C2” and press Enter, then drag it to the last point.
- Type “=1/3*G2*SUM(D2:D42)” and press Enter
Note: While calculating the integral of a function, the smaller the ∆x (or h), the more accurate result you will have.
Bottom Line
We explained two methods for integration in Excel, based on numerical mathematics. You can apply these methods to the problem you may encounter.
You can connect with our experts, make inquiries, and get more Excel Support services.
Reduce cost, accelerate tasks, and improve quality with Excel Automation Services.